《2025年同步练习册配套检测卷九年级数学上册鲁教版五四制》

24. (12 分)如图,在菱形 $ ABCD $ 中, $ AB = 10 $ cm, $ \angle ABC = 60^{\circ} $, $ E $ 为对角线 $ AC $ 上一动点,以 $ DE $ 为一边作 $ \angle DEF = 60^{\circ} $, $ EF $ 交射线 $ BC $ 于点 $ F $,连接 $ BE $, $ DF $.点 $ E $ 从点 $ C $ 出发,沿 $ CA $ 方向以每秒 2 cm 的速度运动至点 $ A $ 处停止.设 $ \triangle BEF $ 的面积为 $ y $ cm^2,点 $ E $ 的运动时间为 $ x $ 秒.
(1) 求证: $ BE = EF $.
(2) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3) 求 $ x $ 为何值时,线段 $ DF $ 的长度最短.

答案：
(1) 见解析；
(2) $y=-\sqrt{3}x^2+10\sqrt{3}x$（$0\leq x\leq5$）；
(3) $x=\frac{5}{2}$。