《2025年同步实践评价课程基础训练七年级数学上册人教版长沙专版》

21. 如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为$\dfrac{1}{2}$的长方形,接着把其中一个面积为$\dfrac{1}{2}的长方形等分成两个面积为\dfrac{1}{4}$的正方形,再把其中一个面积为$\dfrac{1}{4}的正方形等分成两个面积为\dfrac{1}{8}$的长方形……如此进行下去,试观察图形来计算：$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+…+\dfrac{1}{256}$.

答案： 解：分析数据和图形可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积，求解面积和即可. 原式=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{256}=1-\frac{1}{256}=\frac{255}{256}$.

22. 观察下列各组数：①$-1$,2,$-4$,8,$-16$,32,…；②0,3,$-3$,9,$-15$,33,…；③$-2$,4,$-8$,16,$-32$,64,….
(1)第①组数是按什么规律排列的？
(2)第②③组数分别与第①组数有什么关系？
(3)取每组数的第8个数,计算这三个数的和.

答案：
(1)后面一个数与前面一个数的比值是-2.
(2)第②组数比第①组数大 1，第③组数是第①组数的 2 倍.
(3)因为按排列规律可知，第①组中第 8 个数是 128，所以第②组中第 8 个数是 129，第③组中第 8 个数是 256，所以取每组第 8 个数，则这三个数的和为128+129+256=513.

23. 因为$\dfrac{1}{1×2}= 1-\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{2×3}= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{1}{3×4}= \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}$,…,$\dfrac{1}{9×10}= \dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}$,
所以$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+…+\dfrac{1}{9×10}= \left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+…+\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right)= 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+…+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}= 1-\dfrac{1}{10}= \dfrac{9}{10}$.
依据上述内容,请计算：
(1)$\dfrac{1}{1×2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+…+\dfrac{1}{2 023×2 024}$；
(2)$\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+…+\dfrac{1}{2 023×2 025}$.

答案： 解：
(1)$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\cdots+\frac{1}{2023×2024}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}=1-\frac{1}{2024}=\frac{2023}{2024}$；
(2)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\cdots+\frac{1}{2023×2025}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{2025})=\frac{1012}{2025}$.