《2025年同步实践评价课程基础训练七年级数学上册人教版长沙专版》

12. 学习代数式求值时,会遇到这样一类题：“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值。”通常的解题方法是把$x$,$y$看作字母,把$a$看作系数,合并同类项。因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x项的系数为0$,即原式$=(a + 3)x - 6y + 5$,其中$a + 3 = 0$,则$a = -3$。
(1)若关于$x的多项式(2x - 3)m + 2m^{2} - 3x的值与x$的取值无关,求$m$的值。
(2)如图①的小长方形长为$a$,宽为$b$,按照图②所示的方式将$7个小长方形不重叠地放在大长方形ABCD$内,将大长方形中未被覆盖的两个部分涂上阴影。设右上角阴影部分的面积为$S_{1}$,左下角阴影部分的面积为$S_{2}$,当$AB$变化时,$S_{1} - S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$的等量关系。

答案： （1）$(2x-3)m+2m^{2}-3x=2mx-3m+2m^{2}-3x=(2m-3)x-3m+2m^{2}$. 因为关于x的多项式$(2x-3)m+2m^{2}-3x$的值与x的取值无关，所以$2m-3=0$，解得$m=\frac {3}{2}.$（2）设$AB=x$，由题图可知$S_{1}=a(x-3b)=ax-3ab$，$S_{2}=2b(x-2a)=2bx-4ab$，则$S_{1}-S_{2}=ax-3ab-(2bx-4ab)=ax-3ab-2bx+4ab=(a-2b)x+ab$. 因为当AB的长变化时，$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变，所以$S_{1}-S_{2}$的值与x的取值无关，所以$a-2b=0$，所以$a=2b.$