《2025年同步实践评价课程基础训练七年级数学上册人教版长沙专版》

8. 计算：
(1) $(-2)×3 + 2^{2}÷(7 - 5)$；
(2) $-2^{2} - [(1 - \frac{1}{5}×0.6) + (-0.2)^{2} - 4]$.

答案： $(1)$ 计算$(-2)×3 + 2^{2}÷(7 - 5)$
解：
根据四则运算顺序，先算乘方与括号内的式子：
计算乘方：$2^{2}=4$；
计算括号内：$7 - 5 = 2$。
再算乘除：
$ (-2)×3=-6$；
$4÷2 = 2$。
最后算加减：$-6 + 2=-4$。
$(2)$ 计算$-2^{2}-\left[\left(1-\frac{1}{5}×0.6\right)+(-0.2)^{2}-4\right]$
解：
根据四则运算顺序，先算乘方与括号内的式子：
计算乘方：$-2^{2}=-4$，$(-0.2)^{2}=0.04$；
计算括号内乘法：$\frac{1}{5}×0.6 = 0.12$；
计算括号内式子：$\left(1 - 0.12\right)+0.04-4=0.88 + 0.04-4=-3.08$。
再算减法：$-4-\left(-3.08\right)=-4 + 3.08=-0.92$。
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{-4}$；$(2)\boldsymbol{-0.92}$。

9. 琪琪准备完成题目：计算 $(-9)×(\frac{1}{2} - ■) - 3^{3}$. 发现题中有一个数被墨水污染了.
(1) 琪琪猜测被污染的数“■”为 $\frac{2}{3}$,请计算 $(-9)×(\frac{1}{2} - \frac{2}{3}) - 3^{3}$；
(2) 琪琪的妈妈看到该题标准答案为 $-9$,请通过计算求出被污染的数“■”.

答案： （1）
解：
先计算$(-9)×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})-3^{3}$。
根据乘法分配律$a(b - c)=ab - ac$，这里$a=-9$，$b = \frac{1}{2}$，$c=\frac{2}{3}$，则$(-9)×(\frac{1}{2}-\frac{2}{3})=(-9)×\frac{1}{2}-(-9)×\frac{2}{3}$。
计算$(-9)×\frac{1}{2}-(-9)×\frac{2}{3}-3^{3}$：
$(-9)×\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$，$(-9)×\frac{2}{3}=-6$，$3^{3}=27$。
所以$(-9)×\frac{1}{2}-(-9)×\frac{2}{3}-3^{3}=-\frac{9}{2}+6 - 27$。
先计算$-\frac{9}{2}+6=\frac{-9 + 12}{2}=\frac{3}{2}$。
再计算$\frac{3}{2}-27=\frac{3-54}{2}=-\frac{51}{2}=-25.5$。
（2）
解：设被污染的数为$x$。
则$(-9)×(\frac{1}{2}-x)-3^{3}=-9$。
先计算$3^{3}=27$，原方程变为$(-9)×(\frac{1}{2}-x)-27=-9$。
去括号得$(-9)×\frac{1}{2}-(-9)x-27=-9$，即$-\frac{9}{2}+9x - 27=-9$。
移项得$9x=-9 + 27+\frac{9}{2}$。
计算$-9 + 27=18$，则$9x=18+\frac{9}{2}$。
通分$18=\frac{36}{2}$，所以$9x=\frac{36 + 9}{2}=\frac{45}{2}$。
解得$x=\frac{45}{2}÷9$，根据除法运算法则$a÷ b=a×\frac{1}{b}(b\neq0)$，$x=\frac{45}{2}×\frac{1}{9}=\frac{5}{2}$。
综上，（1）的结果为$-25.5$；（2）被污染的数为$\frac{5}{2}$。

10. 例：求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2013}$ 的值.
解：设 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2012} + 2^{2013}$,将等式两边同时乘 2,得
$2S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + … + 2^{2013} + 2^{2014}$.
$2S - S = 2^{2014} - 1$,即 $S = 2^{2014} - 1$,
即 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2013} = 2^{2014} - 1$.
请你仿照此法计算：
(1) $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + … + 2^{2024}$；
(2) $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + … + 3^{n}$(其中 $n$ 为正整数).

答案： 解：
(1)设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2024}$，将等式两边同时乘2，得$2S=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2024}+2^{2025}$.$2S-S=2^{2025}-1$，即$S=2^{2025}-1$，即$1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2024}=2^{2025}-1$.
(2)设$S=1+3+3^2+3^3+3^4+\cdots+3^n$，将等式两边同时乘3，得$3S=3+3^2+3^3+3^4+\cdots+3^n+3^{n+1}$.$3S-S=3^{n+1}-1$，即$S=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$，即$1+3+3^2+3^3+3^4+\cdots+3^n=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)$.