《2025年同步实践评价课程基础训练七年级数学上册人教版长沙专版》

20. 现将偶数按如图所示的方式排成一个矩形数阵,然后用一个平行四边形框出四个数,请根据它们的规律回答下列问题：
(1)图中框出的四个数的和为84.
(2)若设框出的四个数从小到大依次为 $a,b,c,d$,猜想：$a,b,c,d$ 间有什么关系？请说明理由.
解：根据数据之间的关系可看出$b=a+2$，$c=a+12$，$d=a+14$，则$a+d=b+c$。

答案： 解：（1）$14+16+26+28=84$.
（2）根据数据之间的关系可看出$b=a+2$，$c=a+12$，$d=a+14$，则$a+d=b+c$.

21. 数学中,运用“整体思想”在求代数式的值中非常重要.
例如：已知 $a^{2} + a = 1$,则代数式 $2a^{2} + 4a + 4 = 2(a^{2} + 2a) + 4 = 2×1 + 4 = 6$.
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若 $x^{2} - 3x = 2$,则 $\frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 1$ 的值为0.
(2)当 $x = 1$ 时,代数式 $px^{3} + qx + 1$ 的值是 $5$. 求当 $x = -1$ 时,代数式 $px^{3} + qx + 1$ 的值.
解：（2）因为$x=1$，代数式$px^3+qx+1$的值是5，所以$p+q+1=5$，所以$p+q=4$. 当$x=-1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为$-p-q+1=-(p+q)+1=-4+1=-3$.

答案： 解：（1）因为$x^2-3x=2$，所以$\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x-1=\frac{1}{2}(x^2-3x)-1=\frac{1}{2}×2-1=1-1=0$.
（2）因为$x=1$，代数式$px^3+qx+1$的值是5，所以$p+q+1=5$，所以$p+q=4$. 当$x=-1$时，代数式$px^3+qx+1$的值为$-p-q+1=-(p+q)+1=-4+1=-3$.

22. 观察下列三组数,归纳数字发展的规律,完成下列任务.
第一组：$1,4,9,16,25,…$.
第二组：$-1,-8,-27,-64,-125,…$.
第三组：$1,15,53,127,249,…$.
(1)第一组第 $7$ 个数是49,第二组第 $7$ 个数是-343,第三组第 $7$ 个数是685.
(2)若第一组第 $10$ 个数是 $a$,第二组第 $10$ 个数是 $b$,第三组第 $10$ 个数是 $c$,求下列算式的值：①$a + b + c$；②$(b + c + 1)÷a$.
①$a+b+c=100-1000+1999=1099$；②$(b+c+1)÷ a=(-1000+1999+1)÷100=1000÷100=10$.

答案： 解：（1）观察第一组数，第$n$个数等于$n^2(n\geq1)$，所以第一组第7个数是$7^2=49$. 观察第二组数，第$n$个数等于$(-n)^3(n\geq1)$，所以第二组第7个数是$(-7)^3=-343$. 观察第三组数，第$n$个数等于$2× n^3-1(n\geq1)$，所以第三组第7个数是$2×7^3-1=685$. 故答案为49，$-343$，685.
（2）第一组第10个数是$a=10^2=100$，第二组第10个数是$b=(-10)^3=-1000$，第三组第10个数是$c=2×10^3-1=1999$，所以①$a+b+c=100-1000+1999=1099$；②$(b+c+1)÷ a=(-1000+1999+1)÷100=1000÷100=10$.