《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 阅读教材,利用几何图形,利用分配律或单项式与多项式相乘的法则,理解多项式相乘的运算。

答案： 问题1：以长为(a+b)、宽为(m+n)的长方形面积为例，可分割为长a宽m、长a宽n、长b宽m、长b宽n的四个小长方形，面积和为am+an+bm+bn，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn；用分配律，把(a+b)看作整体，(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn；依据单项式乘多项式法则，同样得到结果。三者均表明多项式乘多项式是用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加。

问题2 举例说明多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？

答案： 问题2：如计算(2x+3)(x-1)，将2x和3分别乘x与-1，得2x·x+2x·(-1)+3·x+3·(-1)=2x²-2x+3x-3=2x²+x-3，此过程把多项式乘多项式转化为单项式相乘后合并同类项。

【典型例题】计算：
(1) $(x + 2y)(x - 2y)$；
(2) $(-2x + 3)(5 - 3x)$；
(3) $(a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$；
(4) $(1 - x + y)(x + y)$。
思路导引 多项式与多项式相乘时,要按照一定的顺序进行运算,做到不重不漏；要注意符号问题,每一项都包含前面的符号；如果结果中有同类项,一定要合并同类项。
(1)
$\begin{aligned}&(x + 2y)(x - 2y)\\=&x\cdot x - x\cdot2y + 2y\cdot x - 2y\cdot2y\\=&x^{2}-2xy + 2xy-4y^{2}\\=&x^{2}-4y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-2x + 3)(5 - 3x)\\=&(-2x)×5+(-2x)×(-3x)+3×5 + 3×(-3x)\\=&-10x + 6x^{2}+15-9x\\=&6x^{2}-19x + 15\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})\\=&a\cdot a^{2}+a\cdot ab+a\cdot b^{2}-b\cdot a^{2}-b\cdot ab - b\cdot b^{2}\\=&a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}\\=&a^{3}-b^{3}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(1 - x + y)(x + y)\\=&1× x+1× y - x× x - x× y+y× x+y× y\\=&x + y - x^{2}-xy+xy + y^{2}\\=&x + y - x^{2}+y^{2}\end{aligned}$

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(x + 2y)(x - 2y)\\=&x\cdot x - x\cdot2y + 2y\cdot x - 2y\cdot2y\\=&x^{2}-2xy + 2xy-4y^{2}\\=&x^{2}-4y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(-2x + 3)(5 - 3x)\\=&(-2x)×5+(-2x)×(-3x)+3×5 + 3×(-3x)\\=&-10x + 6x^{2}+15-9x\\=&6x^{2}-19x + 15\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})\\=&a\cdot a^{2}+a\cdot ab+a\cdot b^{2}-b\cdot a^{2}-b\cdot ab - b\cdot b^{2}\\=&a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b - ab^{2}-b^{3}\\=&a^{3}-b^{3}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(1 - x + y)(x + y)\\=&1× x+1× y - x× x - x× y+y× x+y× y\\=&x + y - x^{2}-xy+xy + y^{2}\\=&x + y - x^{2}+y^{2}\end{aligned}$