《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【跟踪练习】
4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$,$AB = 4$,$CD \perp AB于点D$,$E是AB$的中点,则$DE$的长为(A)

A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

答案： 4.A　[解析]因为∠ACB=90°,∠A=30°,所以∠B=60°,BC=$\frac{1}{2}$AB.因为E是AB的中点，AB=4,所以BC=BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2,所以△BCE为等边三角形.又因为CD⊥AB，所以DE=BD=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×2=1.

5. 如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB的垂直平分线交BC于点D$,垂足为点$E$。

(1) 求$\angle BAD$的度数；
(2) 若$BD = 2\ cm$,试求$DC$的长度。

答案： 5.[解]
(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C=(180°−120°)÷2=30°.因为DE垂直平分线段AB,所以DB=DA.所以∠BAD=∠B=30°.
(2)因为∠BAC=120°,∠BAD=30°,所以∠DAC=90°.又因为∠C=30°,DB=DA,所以DC=2DA=2DB=4cm.

如图,点$O是等边三角形ABC$内一点,$\angle AOC = 100^{\circ}$,$\angle AOB = \alpha$。以$OB为边作等边三角形BOD$,连接$CD$。

(1) 求证$\triangle ABO \cong \triangle CBD$；
(2) 当$\alpha = 150^{\circ}$时,试判断$\triangle COD$的形状,并说明理由；
(3) 探究：当$\alpha$为多少度时,$\triangle COD$是等腰三角形？

答案：
(1)[证明]因为△ABC和△OBD都是等边三角形,所以BA=BC,BO=BD,∠ABC=∠OBD=60°.所以∠ABC−∠OBC=∠OBD−∠OBC,即∠ABO=∠CBD.
在△ABO和△CBD中，$\begin{cases}BA = BC\\∠ABO = ∠CBD\\BO = BD\end{cases}$
所以△ABO≌△CBD(SAS).
(2)[解]直角三角形.
理由:因为△ABO≌△CBD(已证)，所以∠BDC=∠AOB=150°.又因为∠ODB=∠OBD=60°,所以∠CDO=150°−60°=90°,所以△COD是直角三角形.
(3)[解]①要使CO=CD,需∠COD=∠CDO,所以200°−α=α−60°,所以α=130°;
②要使OC=OD,需∠OCD=∠CDO,所以2(α−60°)=180°−(200°−α),所以α=100°;
③要使OD=CD,需∠OCD=∠COD,所以2(200°−α)=180°−(α−60°),所以α=160°.所以当α为100°,130°,160°时,△COD是等腰三角形.