《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

4. 如图,在△ABC中,AB = AC,∠A = 36°,BD平分∠ABC交AC于点E,CD平分∠ACB交BE于点D,图中有5个等腰三角形。

答案： 5　[解析]在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−36°)=72°.因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB，所以∠ABE=∠CBE=36°,∠BCD=∠ECD=36°,所以∠CDE=∠CBE+∠BCD=72°,∠CED=∠A+∠ABE=72°.
①因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;
②因为∠A=∠ABE=36°,所以△ABE为等腰三角形;
③因为∠BCD=∠CBE=36°,所以△BCD为等腰三角形;
④因为∠ACB=∠CED=72°,所以△BCE为等腰三角形;
⑤因为∠CDE=∠CED=72°,所以△CDE为等腰三角形.
综上，图中共有5个等腰三角形.

5. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,0),在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形,符合条件的C点有4个。

答案： 4　[解析]若以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点有2个;若以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与y轴有2个交点，这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个;线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点.因此符合条件的C点有2+1+1=4(个).

6. 如图,∠BAC = ∠ABD,AC = BD,点O是AD,BC的交点,点E是AB的中点。试判断OE和AB的位置关系,并说明理由。

答案： [解]OE⊥AB.理由:在△BAC和△ABD中,{AC=BD,∠BAC=∠ABD,AB=BA},所以△BAC≌△ABD(SAS).所以∠OBA=∠OAB,所以OA=OB.因为AE=BE,所以OE⊥AB.

7.(1)如图1,在△ABC中,AB = AC = 10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF//BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有5个等腰三角形；EF,BE,CF三者之间的数量关系是BE+CF=EF,△AEF的周长是20。


(2)如图2,若将(1)中“在△ABC中,AB = AC = 10”改为“若△ABC为不等边三角形,AB = 8,AC = 10”其余条件不变,则图中共有2个等腰三角形；EF,BE,CF三者之间的数量关系是什么？证明你的结论,并求出△AEF的周长。
BE+CF=EF.
证明:因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB，所以∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.因为EF//BC,所以∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,所以∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD,所以BE=DE,CF=DF.所以等腰三角形有△BDE，△CFD，BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.所以△AEF的周长为18.

答案： [解]
(1)5　BE+CF=EF　20
(2)2　BE+CF=EF.
证明:因为BD平分∠ABC,CD平分∠ACB，所以∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.因为EF//BC,所以∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD,所以∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD,所以BE=DE,CF=DF.所以等腰三角形有△BDE，△CFD，BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.所以△AEF的周长为18.