《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 把等腰三角形的性质用于等边三角形,能得到什么结论？等边三角形的边与角有哪些特征？
问题2 一个三角形满足什么条件才是等边三角形？为什么？

答案： 问题1结论：等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。问题2条件：①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【典型例题1】 如图,等边三角形$ABC$的边长为8,点$E是BC$边上一动点(不与点$B$,$C$重合),以$BE为边在BC的下方作等边三角形BDE$,连接$AE$,$CD$。

(1) 在点$E$的运动的过程中,$AE与CD$有何数量关系？请说明理由。
(2) 当$BE = 4$时,求$\angle BDC$的度数。

答案：
(1) $AE = CD$。
理由：
$\because \triangle ABC$和$\triangle BDE$是等边三角形，
$\therefore AB = BC$，$BE = BD$，$\angle ABC = \angle EBD = 60°$，
$\therefore \angle ABE = \angle CBD$，
在$\triangle ABE$与$\triangle CBD$中，
$\begin{cases}AB = CB, \\ \angle ABE = \angle CBD, \\BE = BD,\end{cases}$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle CBD (SAS)$，
$\therefore AE = CD$。
(2) 当$BE = 4$时，
$\because BC = 8$，
$\therefore E$为$BC$的中点，
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore AE \perp BC$，
$\therefore \angle AEB = 90°$，
由
(1)知$\triangle ABE \cong \triangle CBD$，
$\therefore \angle BDC = \angle AEB = 90°$。