《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 如何判定一个三角形是等腰三角形？并说说你的理由。

答案： 答题卡：
判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。
理由：
已知：在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle B = \angle C$。
求证：$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。
证明：
作$AD$为$\angle BAC$的角平分线，即$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$D$。
由于$AD$平分$\angle BAC$，根据角平分线的性质，有$\angle BAD = \angle CAD$。
在$\bigtriangleup ABD$和$\bigtriangleup ACD$中，由于$\angle BAD = \angle CAD$，$\angle B = \angle C$，且$AD = AD$（公共边）。
根据角角边全等判定，有$\bigtriangleup ABD \cong \bigtriangleup ACD$（$AAS$）。
由于两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，有$AB = AC$。
因此，$\bigtriangleup ABC$是等腰三角形。

问题2 若已知等腰三角形的底边及底边上高的长度,能利用直尺和圆规作出这个等腰三角形的一般步骤是什么？说说这个作法正确的理由。

答案： 步骤：
1. 作线段 $ BC $，使 $ BC $ 等于已知底边长度；
2. 分别以 $ B $，$ C $ 为圆心，大于 $ \frac{1}{2}BC $ 长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交 $ BC $ 于点 $ D $（$ D $ 为 $ BC $ 中点）；
3. 在上述直线（$ BC $ 的垂直平分线）上截取 $ DA $，使 $ DA $ 等于已知底边上的高；
4. 连接 $ AB $，$ AC $，则 $ \triangle ABC $ 即为所求等腰三角形。
理由：
由作法知 $ AD $ 是 $ BC $ 的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得 $ AB=AC $，故 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形，且 $ AD \perp BC $，即 $ AD $ 为底边上的高。

【典型例题1】如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,CD⊥AB于点D,BF平分∠ABC交CD于点E,交AC于点F。求证CE = CF。

规律方法 等腰三角形的判定方法“等角对等边”是证明两条线段相等的重要方式之一,当所要证明相等的两条线段(或与之相等的相关线段)在同一个三角形中时,即可考虑运用该判定方法进行证明。

答案： 【证明】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CBF+∠CFB=90°，∠DBE+∠DEB=90°。
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBE，
∴∠CFB=∠DEB。
∵∠FEC=∠DEB，
∴∠CFB=∠FEC，
∴CE=CF。

1.(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,AB = AC,∠A = 36°,BD平分∠ABC交AC于点D。若BC = 2,则AD的长度为2。

答案： 2[解析]因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°.因为BD平分∠ABC,所以∠CBD=∠ABD=36°,所以∠BDC=72°,所以∠BDC=∠C,所以BD=BC=2.因为∠A=36°,∠ABD=36°,所以∠A=∠ABD,所以AD=BD=2.