《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【典型例题2】如图,已知 $ AD $,$ AE $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的高和中线,$ AB = 6 $,$ AC = 8 $,$ BC = 10 $,$ \angle CAB = 90^{\circ} $.

(1)求 $ AD $ 的长；
(2)求 $ \triangle ABE $ 的面积；
(3)求 $ \triangle ACE $ 与 $ \triangle ABE $ 的周长的差.

答案：
(1)在$\triangle ABC$中，$\angle CAB = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
又$BC = 10$，$AD$是$BC$边上的高，
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，即$24=\frac{1}{2}×10\cdot AD$，
解得$AD = 4.8$。
(2)$AE$是$\triangle ABC$的中线，$BC = 10$，
$BE=\frac{1}{2}BC = 5$。
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot AD=\frac{1}{2}×5×4.8 = 12$。
(3)$\triangle ACE$的周长为$AC + CE + AE$，
$\triangle ABE$的周长为$AB + BE + AE$。
$AE$是中线，$CE = BE$，
周长差为$(AC + CE + AE)-(AB + BE + AE)=AC - AB = 8 - 6 = 2$。

2. 如图,$ \triangle ABC $ 的角平分线 $ BD $ 和 $ CE $ 相交于点 $ O $,连接 $ AO $,若 $ \angle BAC = 70^{\circ} $,则 $ \angle OAE = $$35^{\circ }$.

答案： $35^{\circ }$　[解析]因为三角形的三条角平分线交于一点，所以AO平分$∠BAC$，所以$∠OAE=\frac {1}{2}×70^{\circ }=35^{\circ }.$

1. 如图,$ CD $,$ CE $,$ CF $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的高、角平分线和中线,则下列各式中错误的是(C)


A.$ AB = 2BF $
B.$ \angle ACE = \frac{1}{2}\angle ACB $
C.$ AE = BE $
D.$ CD \perp BE $

答案： C　[解析]由题意，显然$AE＜BE$.故选C.

2. 若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(C)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都不对

答案： C　[解析]直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，所以直角三角形的三条高的交点为直角顶点.故选C.

3. 如图,在方格纸中,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,$ E $,$ F $,$ G $ 均在格点上,则 $ \triangle ABC $ 的重心是(B)

A.点 $ G $
B.点 $ D $
C.点 $ E $
D.点 $ F $

答案： B　[解析]观察网格可知AB与BC边上的中线交于点D，即为$\triangle ABC$的重心.故选B.