《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

4. 若$(x - 1)^2 = 2$,则代数式$x^2 - 2x + 5的值为\underline{6}$。

答案： 6 【解析】由$(x-1)^{2}=2$,得$x^{2}-2x+1=2$,即$x^{2}-2x=1$,所以$x^{2}-2x+5=1+5=6$.

5. 运用完全平方公式计算：
(1)$(x + 7)^2$；(2)$(1.5m - \frac{2}{3}n)^2$。

答案： 【解】
(1)原式$=x^{2}+2\cdot x\cdot 7+7^{2}=x^{2}+14x+49$.
(2)原式$=\left(\dfrac{3}{2}m-\dfrac{2}{3}n\right)^{2}=\left(\dfrac{3}{2}m\right)^{2}-2×\dfrac{3}{2}m×\dfrac{2}{3}n+\left(\dfrac{2}{3}n\right)^{2}=\dfrac{9}{4}m^{2}-2mn+\dfrac{4}{9}n^{2}$.

6. 化简：(1)$2(a + 1)^2 + (a + 1)(1 - 2a)$；
(2)$(2x + 1)^2 - (x + 3)(x - 3)$。

答案： 【解】
(1)原式$=2a^{2}+4a+2+a-2a^{2}+1-2a=3a+3$.
(2)原式$=(4x^{2}+4x+1)-(x^{2}-9)=4x^{2}+4x+1-x^{2}+9=3x^{2}+4x+10$.

7. 若$x^2 + 4x - 4 = 0$,则$3(x - 2)^2 - 6(x + 1)(x - 1)$的值为(6)
A.-6
B.6
C.18
D.30

答案： 7.B 【解析】原式$=-3(x^{2}+4x)+18$,由$x^{2}+4x-4=0$得$x^{2}+4x=4$,所以原式$=-3× 4+18=6$.

8. 若$(x + y)^2 = 19$,$(x - y)^2 = 3$,则$xy$的值为(4)
A.4
B.16
C.8
D.15

答案： 8.A 【解析】$\because (x+y)^{2}=19$,$(x-y)^{2}=3$,$\therefore x^{2}+2xy+y^{2}=19$,$x^{2}-2xy+y^{2}=3$,两式相减得$4xy=16$,故$xy=4$.

9. 已知$(x - 2025)^2 + (x - 2027)^2 = 34$,则$(x - 2026)^2的值是\underline{16}$。

答案： 16 【解析】设$t=x-2026$,$\because (x-2025)^{2}+(x-2027)^{2}=34$,$\therefore (t+1)^{2}+(t-1)^{2}=34$,即$2t^{2}+2=34$,$\therefore t^{2}=16$,即$(x-2026)^{2}=16$.

10. 先化简,再求值：
(1)$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)]÷(2b)$,其中$a = 2$,$b = -1$；
(2)$(3a - 1)^2 - 2a(4a - 1)$,其中$a满足a^2 - 4a + 3 = 0$。

答案： 【解】
(1)原式$=[4a^{2}+4ab+b^{2}-(4a^{2}-b^{2})]÷(2b)=(4a^{2}+4ab+b^{2}-4a^{2}+b^{2})÷(2b)=(4ab+2b^{2})÷(2b)=2a+b$,当$a=2$,$b=-1$时,原式$=2× 2-1=3$.
(2)原式$=(9a^{2}-6a+1)-8a^{2}+2a=(9a^{2}-8a^{2})+(-6a+2a)+1=a^{2}-4a+1$.$\because a^{2}-4a+3=0$,$\therefore a^{2}-4a=-3$,$\therefore$原式$=a^{2}-4a+1=-3+1=-2$.

11. 阅读下列材料。
若$x满足(9 - x)(x - 4) = 4$,求$(4 - x)^2 + (x - 9)^2$的值。
解：设$9 - x = a$,$x - 4 = b$,则$(9 - x)(x - 4) = ab = 4$,$a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5$,
故$(4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×4 = 17$。
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若$x满足(5 - x)(x - 2) = 2$,求$(5 - x)^2 + (x - 2)^2$的值。
(2)如图,已知正方形$ABCD的边长为x$,$E$,$F分别是AD$,$DC$上的点,且$AE = 1$,$CF = 3$,长方形$EMFD$的面积是48,分别以$MF$,$DF$为边作正方形。
①$MF = \underline{\quad\quad}$,$DF = \underline{\quad\quad}$；(用含$x$的式子表示)
②求阴影部分的面积。

(1)设$5-x=a$,$x-2=b$,则$(5-x)(x-2)=ab=2$,$a+b=(5-x)+(x-2)=3$,故$(5-x)^{2}+(x-2)^{2}=(a+b)^{2}-2ab=3^{2}-2× 2=5$.
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48$,阴影部分的面积$=FM^{2}-DF^{2}=(x-1)^{2}-(x-3)^{2}$.设$x-1=m$,$x-3=n$,则$(x-1)(x-3)=mn=48$,$m-n=(x-1)-(x-3)=2$,$\because (m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn=2^{2}+4× 48=196$,$\therefore m+n=\pm 14$.又$m+n＞0$,$\therefore m+n=14$,$\therefore (x-1)^{2}-(x-3)^{2}=m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)=14× 2=28$,即阴影部分的面积是28.

答案： 【解】
(1)设$5-x=a$,$x-2=b$,则$(5-x)(x-2)=ab=2$,$a+b=(5-x)+(x-2)=3$,故$(5-x)^{2}+(x-2)^{2}=(a+b)^{2}-2ab=3^{2}-2× 2=5$.
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48$,阴影部分的面积$=FM^{2}-DF^{2}=(x-1)^{2}-(x-3)^{2}$.设$x-1=m$,$x-3=n$,则$(x-1)(x-3)=mn=48$,$m-n=(x-1)-(x-3)=2$,$\because (m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn=2^{2}+4× 48=196$,$\therefore m+n=\pm 14$.又$m+n＞0$,$\therefore m+n=14$,$\therefore (x-1)^{2}-(x-3)^{2}=m^{2}-n^{2}=(m+n)(m-n)=14× 2=28$,即阴影部分的面积是28.