《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

1. 如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
问题引入：
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,$S_{△ABD}:S_{△ABC}$= 1:2；当点D是BC边上任意一点时,$S_{△ABD}:S_{△ABC}$= BD:BC(用图中已有线段表示).
探索研究：
(2)如图2,在△ABC中,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO,CO,试猜想$S_{△BOC}与S_{△ABC}$之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
拓展应用：
(3)如图3,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO并延长交AC于点F,连接CO并延长交AB于点E. 试猜想$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}$的值,并说明理由.

答案： 【解】（1）1:2 BD:BC
（2）猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD:AD.
理由：由题意可得$\frac{S_{\triangle BOD}}{S_{\triangle BAD}}=\frac{S_{\triangle COD}}{S_{\triangle CAD}}=\frac{OD}{AD}$，所以S△BOD=$\frac{OD}{AD}$·S△BAD，S△COD=$\frac{OD}{AD}$·S△CAD，所以S△BOD+S△COD=$\frac{OD}{AD}$·S△BAD+$\frac{OD}{AD}$·S△CAD=$\frac{OD}{AD}$(S△BAD+S△CAD)，即S△BOC=$\frac{OD}{AD}$·S△ABC，所以S△BOC:S△ABC=OD:AD.
（3）猜想$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}$的值是1.
理由：由（2）可知$\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{CE}+\frac{OF}{BF}=\frac{S_{\triangle BOC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle BOA}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle BOC}+S_{\triangle BOA}+S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1$.

2. 如图,△ABC的三条角平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D.


(1)如图1,猜想∠AOC与∠ODC的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,作△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.
①求证：BF//OD；
②若∠F = 35°,求∠BAC的度数.

答案： 【解】（1）∠AOC=∠ODC.
理由：因为三个内角的平分线交于点O，所以∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC).因为∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，所以∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC=90°+∠OBC.因为OD⊥OB，所以∠BOD=90°，所以∠ODC=90°+∠OBD，所以∠AOC=∠ODC.
（2）①证明：因为BF平分∠ABE，所以∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)=90°-∠DBO.因为∠ODB=90°-∠OBD，所以∠FBE=∠ODB，所以BF//OD.
②因为BF平分∠ABE，所以∠EBF=$\frac{1}{2}$∠ABE=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB).因为△ABC的三条角平分线交于点O，所以∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB.因为∠F=∠FBE-∠BCF=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ACB)-$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠F=35°，所以∠BAC=2∠F=70°.