《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是(B)
A.$y^{2}-49x^{2}$
B.$-\frac{1}{49}-x^{4}$
C.$\frac{1}{4}(p + q)^{2}-9$
D.$-m^{4}+n^{2}$

答案： B【解析】$-\dfrac{1}{49}-x^{4}=-\left(\dfrac{1}{49}+x^{4}\right)$,不能用平方差公式进行分解.

2. 将多项式$1 - 4x^{2}$分解因式,正确的是(B)
A.$(2x + 1)(2x - 1)$
B.$(1 - 2x)(1 + 2x)$
C.$(1 + 2x)(2x - 1)$
D.$(1 + 4x)(1 - 4x)$

答案： B

3. 若$k$为任意整数,则$(2k + 3)^{2}-4k^{2}$的值总能(B)
A.被2整除
B.被3整除
C.被5整除
D.被7整除

答案： B【解析】$(2k+3)^{2}-4k^{2}=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3)$.$\because k$为任意整数，$\therefore (2k+3)^{2}-4k^{2}$的值总能被3整除，故选B.

4. 若多项式$4a^{2}+M$能用平方差公式分解因式,则单项式$M=$-4(答案不唯一)(写一个即可).

答案： -4(答案不唯一)

5. (2024·甘肃临夏州中考)分解因式：$x^{2}-\frac{1}{4}=$$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.

答案： $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$

6. 若$a + b= 2$,则$a^{2}-b^{2}+4b$的值是4.

答案： 4【解析】$\because a+b=2$,$\therefore a^{2}-b^{2}+4b=(a+b)(a-b)+4b=2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)=4$.

7. 利用因式分解简便运算：
(1)$1001^{2}-999^{2}$; (2)$999^{2}-1$.

答案： 【解】
(1)原式$=(1001-999)×(1001+999)=2×2000=4000$.
(2)原式$=(999+1)×(999-1)=1000×998=998000$.

8. 若$a,b,c是\triangle ABC$的三边长,则$a^{2}-(b - c)^{2}$的结果(A)
A.大于零
B.等于零
C.小于零
D.不确定

答案： A【解析】由三角形三边的关系，得$a+b-c＞0$,$a+c-b＞0$,所以$a^{2}-(b-c)^{2}=(a+b-c)[a-(b-c)]=(a+b-c)(a-b+c)＞0$.

9. 利用平方差公式分解因式：
(1)$-\frac{25}{9}x^{2}+\frac{81}{4}y^{2}$;
(2)$(a + b)^{2}-(a - 4b)^{2}$.

答案： 【解】
(1)原式$=-\left(\dfrac{25}{9}x^{2}-\dfrac{81}{4}y^{2}\right)=-\left(\dfrac{5}{3}x+\dfrac{9}{2}y\right)\left(\dfrac{5}{3}x-\dfrac{9}{2}y\right)$.
(2)原式$=(a+b+a-4b)(a+b-a+4b)=5b(2a-3b)$.

10. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆. 原理：如对于多项式$x^{4}-y^{4}$,因式分解的结果是$(x - y)(x + y)\cdot(x^{2}+y^{2})$,若取$x = 9,y = 9$,则各个因式的值是$(x - y)= 0,(x + y)= 18,(x^{2}+y^{2})= 162$,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 对于多项式$4x^{3}-xy^{2}$,取$x = 10,y = 10$时,用上述方法产生的密码可以是103010.(填一个即可)

答案： 答案不唯一，例如：103010【解析】$4x^{3}-xy^{2}=x(2x+y)(2x-y)$[或$x(2x-y)(2x+y)$,或$(2x+y)(2x-y)x$等]，把$x=10$,$y=10$代入，可得密码103010(或101030，或301010).