《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【跟踪练习】
3. 已知$2m - 3n = -4$,则代数式$m(n - 4) - n(m - 6)$的值为8.

答案： 8 【解析】因为$2m-3n=-4$,
所以$-4m+6n=8$.$m(n-4)-n(m-6)=mn-4m-mn+6n=-4m+6n=8$.

专题三 乘法公式
【典型例题3】
先化简,再求值：$(2x + y)^2 - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)$,其中$x = (\frac{1}{2})^{2025}$,$y = 2^{2024}$.

答案： 答题卡：
原式$=(2x + y)^{2} - (2x + y)(2x - y) - 2y(x + y)$
$=4x^{2}+4xy + y^{2}-(4x^{2}-y^{2})-(2xy + 2y^{2})$
$=4x^{2}+4xy + y^{2}-4x^{2}+y^{2}-2xy - 2y^{2}$
$=2xy$
当$x = (\frac{1}{2})^{2025}$，$y = 2^{2024}$时，
原式$=2×(\frac{1}{2})^{2025}×2^{2024}$
$=2×\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{2024}×2^{2024}$
$=1×(\frac{1}{2}×2)^{2024}$
$=1×1^{2024}$
$=1$

【跟踪练习】
4. 先化简,再求值：$5(x - 1)^2 - (2x + 3)(2x - 3)$,其中实数$x满足10x - x^2 - 5 = 0$.

答案： 【解】原式$=5(x^{2}-2x+1)-(4x^{2}-9)=5x^{2}-10x+5-4x^{2}+9=x^{2}-10x+14$.
$\because x$满足$10x-x^{2}-5=0$,
$\therefore x^{2}-10x=-5$.
$\therefore$原式$=-5+14=9$.

【知识回顾】
我们在学习代数式求值时,遇到这样一类题：代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值.
通常的解题思路是：把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项. 因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x项的系数为0$.
具体解题过程是：原式$= (a + 3)x - 6y + 5$,
$\because代数式的值与x$的取值无关,
$\therefore a + 3 = 0$,解得$a = -3$.
【理解应用】
(1)若关于$x的多项式m(2x - 3) + 2m^2 - 4x的值与x$的取值无关,求$m$的值；
(2)已知$A = -2x^2 - 2(2x + 1) - x(1 - 3m) + x$,$B = -x^2 - mx + 1$,且$A - 2B的值与x$的取值无关,求$m$的值；
【能力提升】
(3)7张如图1所示的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图2所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形. 设右上角长方形的面积为$S_1$,左下角长方形的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求$a与b$的数量关系.

答案： 【解】
(1)$m(2x-3)+2m^{2}-4x=2mx-3m+2m^{2}-4x=(2m-4)x+2m^{2}-3m$,因为其值与$x$的取值无关,所以$2m-4=0$,所以$m=2$.
(2)因为$A=-2x^{2}-2(2x+1)-x(1-3m)+x$,$B=-x^{2}-mx+1$,所以$A-2B=-2x^{2}-2(2x+1)-x(1-3m)+x-2(-x^{2}-mx+1)=-2x^{2}-4x-2-x+3mx+x+2x^{2}+2mx-2=(5m-4)x-4$.因为$A-2B$的值与$x$无关,所以$5m-4=0$,即$m=\dfrac{4}{5}$.
(3)设$AB=x$,由题图可知$S_{1}=a(x-3b)$,$S_{2}=2b(x-2a)$,所以$S_{1}-S_{2}=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab$.因为当$AB$的长变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,所以$S_{1}-S_{2}$的取值与$x$无关,所以$a-2b=0$,所以$a=2b$.