《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 按照证明命题的步骤,证明结论“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”.

答案： 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
证明：在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP=∠BOP。
∴点P在∠AOB的平分线上。

问题2 通过本节的学习,你对角的平分线有了哪些新的认识？

答案： 通过本节课程的学习，我对角的平分线有了以下几点新的认识：
1.角的平分线的性质：
角的平分线将角分为两个相等的部分。
角的平分线上各点到角的两边的距离相等（角平分线性质定理）。
2.应用：
在几何证明中，可以利用角的平分线性质来证明线段相等或角相等。
在解决实际问题时，角的平分线可以帮助构造对称图形或找到几何对象的对称中心。
3.几何构造：
学会了如何使用直尺和圆规准确地作出角的平分线。
4.与其它几何概念的联系：
理解了角的平分线与三角形的内角和外角之间的关系。
认识到角的平分线在三角形中的特殊性质，如在等边三角形中，角的平分线、中线和高线重合。
5.问题解决能力：
通过练习，提高了使用角的平分线性质解决几何问题的能力。
学会了如何将角的平分线的性质应用到更复杂的几何问题中。
综上所述，通过本节课程的学习，我对角的平分线的定义、性质、应用以及与其它几何概念的联系有了更深入的理解。

【典型例题1】如图,已知点$D$,$E$,$F分别是\triangle ABC$的三边上的点,$CE = BF$,且$\triangle DCE的面积与\triangle DBF$的面积相等,连接$DE$,$DF$,$AD$. 求证：$AD平分\angle BAC$.

答案：
证明：过点$D$作$DM \perp AB$于点$M$，$DN \perp AC$于点$N$。

因为$\triangle DBF$的面积与$\triangle DCE$的面积相等，
所以$\frac{1}{2}BF \cdot DM = \frac{1}{2}CE \cdot DN$。
又因为$BF = CE$，
所以$DM = DN$。
由于$DM \perp AB$，$DN \perp AC$，
根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，
可知点$D$在$\angle BAC$的平分线上，
因此$AD$平分$\angle BAC$。

1. 如图,点$B$,$C分别在\angle MAN$的两边上,$BD \perp AM于点D$,$CE \perp AN于点E$,$BD$,$CE相交于点F$,且$BF = CF$. 求证：点$F在\angle MAN$的平分线上.

答案： [证明]因为BD⊥AM,CE⊥AN，所以∠CDF=∠BEF=90°.在△DCF和△EBF中，∠CDF=∠BEF，∠DFC=∠EFB，CF=BF，所以△DCF≌△EBF(AAS)，所以FD=FE，所以点F在∠MAN的平分线上.