《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

- 问题1 三角形的三个内角之间有怎样的数量关系？

答案： 三角形的三个内角和等于180°

- 问题2 你有哪些方法证明三角形的内角和定理？

答案： 三角形内角和定理可通过拼图法或作平行线辅助线法证明，结论为180°

【典型例题1】【阅读材料】为了说明“三角形的内角和是$180^{\circ}$”,小明给出了四种作辅助线的方法如图所示。
- 方法①：过$\triangle ABC的顶点C作EF// AB$；
- 方法②：点$P在\triangle ABC的边BC$上,过点$P作PE// AB交AC于点E$,$PF// AC交AB于点F$；
- 方法③：点$P在\triangle ABC$的内部,过点$P作EF// AB分别交AC$,$BC于点E$,$F$,作$DG// AC分别交AB$,$BC于点D$,$G$,作$MN// BC分别交AC$,$AB于点M$,$N$；
- 方法④：点$P在\triangle ABC$的外部,过点$P作EF// AB分别交AC$,$BC于点E$,$F$,作$DP// AC交BC于点D$,作$MN// BC$。

【解答问题】
(1) 小明的四种作辅助线的方法中,能说明“三角形的内角和是$180^{\circ}$”的是①②③④；(填序号)
(2) 请你从在(1)中填写的方法里选择一种方法,说明“三角形的内角和是$180^{\circ}$”。
思路导引 根据辅助线的作法,结合平行线的性质把三角形的三个内角转化到一起构成一个平角证得结论,可知四种方法均正确。
选择方法①，证明如下：
过点$C$作$EF // AB$，
$\because EF // AB$，
$\therefore \angle ECA = \angle A$（两直线平行，内错角相等），
$\angle FCB = \angle B$（两直线平行，内错角相等），
$\because$点$E$，$C$，$F$在同一直线上，
$\therefore \angle ECA + \angle ACB + \angle FCB = 180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore \angle A + \angle ACB + \angle B = 180^{\circ}$，
即三角形的内角和是$180^{\circ}$。

答案： （1）①②③④
（2）选择方法①，证明如下：
过点$C$作$EF // AB$，
$\because EF // AB$，
$\therefore \angle ECA = \angle A$（两直线平行，内错角相等），
$\angle FCB = \angle B$（两直线平行，内错角相等），
$\because$点$E$，$C$，$F$在同一直线上，
$\therefore \angle ECA + \angle ACB + \angle FCB = 180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore \angle A + \angle ACB + \angle B = 180^{\circ}$，
即三角形的内角和是$180^{\circ}$。