《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 如何用直尺和圆规作一个角的平分线？依据是什么？

答案：

作法：1.以$O$为圆心，适当长为半径画弧，交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$。2.分别以$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$\angle AOB$内部交于点$C$。3.画射线$OC$，射线$OC$即为所求作的$\angle AOB$的平分线。

依据：$SSS$全等判定定理，通过证明两个三角形全等，得出对应角相等，从而得到$OC$是$\angle AOB$的平分线。

问题2 角的平分线上的点具有什么特性？你是如何证明的？

答案： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等

问题3 你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？

答案：

证明一个几何命题的一般过程如下：

1.明确命题中的已知和求证：

如，已知：$OM$平分$\angle AOB$，$P$是$OM$上的点，$PA\perp OA$于$A$，$PA=PB$。

求证：$B$到$OA$距离与$PA$相等（或$B$到$OA$距离等于$PA$ ）。

2.根据题意，画出图形：

先画$\angle AOB$，再画角平分线$OM$，在$OM$上任取一点$P$，过$P$点作$PA\perp OA$，且使$PA = PB$（$B$点位置根据条件确定在合适位置 ）。

3.分析证明思路：

一般从求证结论出发，寻找使其成立的条件，如本题要证$B$到$OA$距离与$PA$相等，可考虑通过证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等来证明。

4.写出证明过程：

过点$B$作$BC\perp OA$于点$C$。

因为$OM$平分$\angle AOB$，所以$\angle AOP = \angle BOP$。

又因为$PA\perp OA$，$BC\perp OA$，所以$\angle OAP=\angle OCB = 90^{\circ}$。

在$\triangle OAP$和$\triangle OCP$（这里通过构造全等三角形思路，利用角平分线，直角等条件）中，通过$AAS$（角角边）证明$\triangle OAP\cong\triangle OCP$（这里$OP$为公共边，$\angle AOP = \angle BOP$，$\angle OAP=\angle OCP = 90^{\circ}$ ），得到$BC = PA$。

5.总结归纳：

回顾整个证明过程，检查逻辑是否严密，步骤是否完整。

【典型例题1】如图,已知四边形ABCD,E为DC边上一点。求作四边形内一点P,使EP//BC,且点P到AB,AD的距离相等。

规律方法 用尺规作一个角的平分线,实际上是运用“SSS”构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等,找到平分一个角的射线。

答案：

(1)作∠DAB的平分线AM；
(2)以E为顶点，ED为一边作射线EN，使∠DEN=∠C，EN交AM于点P，即为所求作点P。