《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【跟踪练习】
2. 下列各式中,能用公式法分解因式的是(D)
A.$x^{2}+x$
B.$4x^{2}-4x-1$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$4x^{2}-1$

答案： D【解析】对于A,$x^{2}+x=x(x+1)$,只能提公因式分解因式;对于B,$4x^{2}-4x-1$有三项,并且有两项是平方项,但是最后的平方项符号是负的,不符合完全平方公式;对于C,$x^{2}+y^{2}$不能分解因式;对于D,$4x^{2}-1=(2x+1)(2x-1)$,能用平方差公式进行因式分解.故选D.

3. (2024·四川自贡中考)分解因式：$x^{2}-3x= $$x(x-3)$.

答案： $x(x-3)$【解析】原式$=x\cdot x-3\cdot x=x(x-3).$

4. (2024·黑龙江绥化中考)分解因式：$2mx^{2}-8my^{2}=$$2m(x+2y)(x-2y)$.

答案： $2m(x+2y)(x-2y)$【解析】原式$=2m(x^{2}-4y^{2})=2m(x+2y)(x-2y).$

5. 分解因式：
(1)$2x^{3}y-2xy^{3}$；
(2)$8(a^{2}+1)-16a$；
(3)$-3x^{2}+2x-\frac{1}{3}$.

答案： 【解】
(1)$2x^{3}y-2xy^{3}=2xy(x^{2}-y^{2})=2xy(x+y)(x-y).$
(2)$8(a^{2}+1)-16a=8(a^{2}-2a+1)=8(a-1)^{2}.$
(3)$-3x^{2}+2x-\frac {1}{3}=-\frac {1}{3}(9x^{2}-6x+1)=-\frac {1}{3}(3x-1)^{2}.$

【典型例题 3】已知$x-1= \sqrt{3}$,求代数式$(x+1)^{2}-4(x+1)+4$的值.
思路导引 把求值式先利用完全平方公式进行分解化简,再代入数值计算.
规律方法 运用因式分解可以将某些条件作为整体进行求解,使计算过程得以简化.

答案： 答题卡：
解：
由已知，$x - 1 = \sqrt{3}$，
对代数式进行因式分解：
$(x + 1)^{2} - 4(x + 1) + 4$
$ = (x + 1 - 2)^{2} $
$= (x - 1)^{2}$
代入已知条件：
$(x - 1)^{2} = (\sqrt{3})^{2} = 3$
所以，代数式$(x + 1)^{2} - 4(x + 1) + 4$的值为3。

【跟踪练习】
6. 已知$a-b= 1$,则$a^{2}-b^{2}-2b$的值为(1)
A.4
B.3
C.1
D.0

答案： C【解析】由已知得,$a^{2}-b^{2}-2b=(a+b)(a-b)-2b=a+b-2b=a-b=1.$

7. 化简：$(a+1)^{2}-(a-1)^{2}=$4a.

答案： 4a【解析】原式$=[(a+1)+(a-1)][(a+1)-(a-1)]=2a\cdot 2=4a.$

1. 利用完全平方公式$a^{2}+2ab+b^{2}= (a+b)^{2}和a^{2}-2ab+b^{2}= (a-b)^{2}$的特点可以解决很多数学问题.下面给出两个例子：
例 1. 分解因式：$x^{2}+2x-3= x^{2}+2x+1-4= (x+1)^{2}-4= (x+1+2)(x+1-2)= (x+3)(x-1)$.
例 2. 求代数式$2x^{2}-4x-6$的最小值：$2x^{2}-4x-6= 2(x^{2}-2x)-6= 2(x^{2}-2x+1-1)-6= 2[(x-1)^{2}-1]-6= 2(x-1)^{2}-8$,$\because2(x-1)^{2}\geq0$,$\therefore当x= 1$时,代数式$2x^{2}-4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
(1)分解因式：$m^{2}-6m-7$；
(2)代数式$-2x^{2}-8x+5$有最______值(填“大”或“小”)；
(3)当$x$,$y$为何值时,多项式$2x^{2}+y^{2}-8x+6y+20$有最小值？并求出这个最小值.
(1)$m^{2}-6m-7=m^{2}-6m+9-9-7=(m-3)^{2}-16=(m-3+4)(m-3-4)=(m+1)(m-7)$
(2)大
(3)$2x^{2}+y^{2}-8x+6y+20=2(x^{2}-4x+4)+(y^{2}+6y+9)-8-9+20=2(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+3$.$\because (x-2)^{2}\geq 0,(y+3)^{2}\geq 0,$$\therefore$当$x=2,y=-3$时,原多项式有最小值,最小值为3.

答案： 【解】
(1)$m^{2}-6m-7=m^{2}-6m+9-9-7=(m-3)^{2}-16=(m-3+4)(m-3-4)=(m+1)(m-7).$
(2)大$-2x^{2}-8x+5=-2(x^{2}+4x)+5=-2(x^{2}+4x+4-4)+5=-2(x+2)^{2}+13.$$\because -2(x+2)^{2}\leq 0,$$\therefore -2(x+2)^{2}+13\leq 13,$
∴当$x=-2$时,代数式$-2x^{2}-8x+5$有最大值.
(3)$2x^{2}+y^{2}-8x+6y+20=2(x^{2}-4x+4)+(y^{2}+6y+9)-8-9+20=2(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+3.$$\because (x-2)^{2}\geq 0,(y+3)^{2}\geq 0,$
∴当$x=2,y=-3$时,原多项式有最小值,最小值为3.