《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

2. 如图,$BD是等边三角形ABC的边AC$上的高,以点$D$为圆心,$DB的长为半径作弧交BC的延长线于点E$,则$\angle DEC$为(C)


A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： C　[解析]在等边三角形ABC中，∠ABC=60°,因为BD是AC边上的高，所以BD平分∠ABC，所以∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.因为BD=ED,所以∠DEC=∠CBD=30°.

3. 由于普通的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作,小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可。衣架杆$OA = OB = 18\ cm$,若衣架收拢时如图所示,$\angle AOB = 60^{\circ}$,则此时$A$,$B$两点间的距离是18$cm$。

答案： 18[解析]因为OA=OB,∠AOB=60°,所以△AOB是等边三角形,所以AB=OA=OB=18cm.

4. 将含$30^{\circ}$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知$\angle\alpha = 60^{\circ}$,点$B$,$C表示的刻度分别为1\ cm$,$3\ cm$,则线段$AB$的长为2$cm$。

答案： 2　[解析]因为直尺的两对边相互平行,所以∠ACB=∠α=60°.因为∠A=60°,所以∠ABC=180°−∠ACB−∠A=180°−60°−60°=60°,所以∠A=∠ABC=∠ACB,所以△ABC是等边三角形,所以AB=BC=3−1=2(cm).

5. 如图,在等边三角形$ABC$中,$AD$是角平分线,$\triangle ADE$是等边三角形,下列结论：①$AD\perp BC$；②$EF = FD$；③$BE = BD$。其中正确的个数为(A)

A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$0$

答案： A　[解析]因为△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形,所以AB=AC=BC,∠BAC=60°,AE=AD=ED,∠EAD=60°.因为∠DAB=∠DAC=30°,所以AD⊥BC,故①正确;∠EAB=∠BAD=30°,所以AB⊥ED,EF=DF,故②正确;所以BE=BD,故③正确.

6. 如图,在等边三角形$ABC$中,点$D在BC$边的延长线上,$CE平分\angle ACD$,且$CE = BD$。求证：$\triangle ADE$是等边三角形。

答案： [证明]由等边三角形ABC，及CE平分∠ACD，可得AB=AC,∠B=∠ACE=60°.在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠B=∠ACE,\\ BD=CE,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∴∠CAE−∠CAD=∠BAD−∠CAD,即∠DAE=∠BAC=60°.又AD=AE,
∴△ADE是等边三角形.

7. 如图,在等边三角形$ABC$中,点$M为AB$边上任意一点,延长$BC至点N$,使$CN = AM$,连接$MN交AC于点P$,$MH\perp AC于点H$。
(1) 求证$MP = NP$；
(2) 若$AB = a$,求线段$PH$的长(结果用含$a$的代数式表示)。

答案：

(1)[证明]如图，过点M作MQ//BC,交AC于点Q.在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°,因为MQ//BC，所以∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,∠MQP=∠PCN,所以△AMQ是等边三角形，所以AM=QM.因为AM=CN,所以QM=CN.在△QMP和△CNP中，$\left\{\begin{array}{l} ∠MQP=∠NCP,\\ QM=CN,\\ ∠QMP=∠N,\end{array}\right. $所以△QMP≌△CNP(ASA),所以MP=NP.
(2)[解]在等边三角形AMQ中，因为MH⊥AC，所以AH=HQ.因为△QMP≌△CNP,所以QP=CP,所以PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.因为AB=a,AB=AC,所以PH=$\frac{1}{2}$a.