《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【典型例题2】 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB= DC,∠1= ∠2。求证AC= BD。

思路导引 先利用“AAS”证明△AOB与△DOC全等,得到OA= OD,OB= OC,利用线段和差关系即得AC= BD。

规律方法 “ASA”与“AAS”可互相转化：只要两个三角形的两组角分别相等,则其第三组角也相等,所以两角及一边分别相等的两个三角形一定全等。无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可判定两个三角形全等。

答案：

【证明】 在△AOB和△DOC中,

$\left\{ \begin{array}{l} ∠1 = ∠2 \\ ∠AOB = ∠DOC \\ AB = DC \end{array} \right. $

∴△AOB≌△DOC(AAS),

∴OA= OD,OB= OC,

∴OA+OC= OD+OB,即AC= BD。

2. (2024·江苏镇江中考改编)如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB。

(1) 求证△ABC≌△BAD；
(2) 若∠DAB= 70°,求∠CAB的度数。

答案： （1）【证明】在△ABC和△BAD中,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB,AB=BA,所以△ABC≌△BAD(AAS).（2）【解】因为∠DAB=70°,∠D=90°,所以∠DBA=90°-70°=20°.由（1）△ABC≌△BAD,得∠CAB=∠DBA=20°.

1. 如图,若AD= AC,∠BAD= ∠CAE,则添加一个条件不能证明△ABC≌△AED的是(D)

A.AB= AE
B.∠B= ∠E
C.∠C= ∠D
D.BC= DE

答案： D 【解析】因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠CAB=∠DAE.A选项,若添加AB=AE,根据“SAS”可以证明全等;B选项,若添加∠B=∠E,根据“AAS”可以证明全等;C选项,若添加∠C=∠D,根据“ASA”可以证明全等;D选项,若添加BC=DE,则两组边分别相等,且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,即不能得到△ABC和△AED全等.故选D.

2. (2024·黑龙江牡丹江中考)如图,在△ABC中,D是AB上一点,CF//AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件DE=EF（答案不唯一）,使得AE= CE。

答案： DE=EF（答案不唯一）【解析】只要△ADE≌△CFE,就能得到AE=CE.因为CF//AB,所以∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,因此,添加条件DE=EF或AD=CF,可根据“AAS”或“ASA”判定△ADE≌△CFE.

3. 如图,AB//CD,AE//CF,BF= DE。求证AB= CD。

答案： 【证明】因为AB//CD,AE//CF,所以∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,即BE=DF.在△ABE和△CDF中,∠B=∠D,BE=DF,∠AEB=∠CFD,所以△ABE≌△CDF(ASA),所以AB=CD.