《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【典型例题 1】下列分解因式：①$x^{3}-4x= x(x^{2}-4)$；②$a^{2}-3a+2= (a-2)(a-1)$；③$a^{2}-2a-2= a(a-2)-2$；④$x^{2}+x+\frac{1}{4}= (x+\frac{1}{2})^{2}$,其中正确的是②④.(只填序号)
【解析】①分解不彻底,显然,因式$x^{2}-4$可以继续分解；②分解正确(可通过整式乘法进行检验)；③整体上并没有化成乘积的形式,所以错误；④分解正确.综上可知,②④正确.
【答案】②④
规律方法 1. 因式分解是针对整式中的多项式,而不是单项式；是针对多项式的整体,而不是部分.
2. 因式分解与整式乘法是互逆的变形,因式分解的结果必须是乘积的形式,并且要求必须把每个因式分解彻底.

答案： ②④

【跟踪练习】
1. 下列等式中从左到右的变形,属于因式分解的是(D)
A.$a(x-y)= ax-ay$
B.$x^{2}+2x+1= x(x+2)+1$
C.$(x+1)(x+3)= x^{2}+4x+3$
D.$x^{3}-x= x(x+1)(x-1)$

答案： D【解析】选项A,C中的变形是整式乘法,不是因式分解;选项D中将$x^{3}-x$化为了x,$x+1$,$x-1$的积的形式,故是因式分解;B中变形结果是$x(x+2)$与1的和,故不是因式分解.

【典型例题 2】分解因式：
(1)$x^{2}y-9y^{3}$；
(2)$16a-8axy+ax^{2}y^{2}$；
(3)$4(x+y)^{2}+25-20(x+y)$.
思路导引 先提取公因式,再利用公式法分解因式.

答案：
(1)
$x^{2}y - 9y^{3}$
$= y(x^{2} - 9y^{2})$
$= y[x^{2} - (3y)^{2}]$
$= y(x + 3y)(x - 3y)$
(2)
$16a - 8axy + ax^{2}y^{2}$
$= a(16 - 8xy + x^{2}y^{2})$
$= a(4 - xy)^{2}$
(3)
$4(x + y)^{2} + 25 - 20(x + y)$
$= 4(x + y)^{2} - 20(x + y) + 25$
$= [2(x + y)]^{2} - 2×2(x + y)×5 + 5^{2}$
$= [2(x + y) - 5]^{2}$
$= (2x + 2y - 5)^{2}$