《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

【典型例题 1】如图,已知 $ AC // BD $,$ AE $,$ BE $ 分别平分 $ \angle CAB $ 和 $ \angle DBA $,$ CD $ 过点 $ E $。求证：$ AB = AC + BD $。

思路导引 线段 $ AC $,$ BD $ 与 $ AB $ 不在同一个三角形内,而且也不能直接找到联系三者的桥梁(如全等),因此可以考虑通过添加辅助线来构造联系三者的桥梁。通过截长(补短)法求证三者之间的关系。

答案：
方法1：截长法
在线段$AB$上截取$AF = AC$，连接$EF$。

∵$AE$平分$\angle CAB$，$BE$平分$\angle DBA$，
∴$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
在$\triangle ACE$和$\triangle AFE$中，
$\begin{cases} AC = AF, \\ \angle 1 = \angle 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
∴$\triangle ACE \cong \triangle AFE\ (SAS)$，
∴$\angle 5 = \angle C$。
∵$AC // BD$，
∴$\angle C + \angle D = 180°$。
又
∵$\angle 5 + \angle 6 = 180°$，
∴$\angle 6 = \angle D$。
在$\triangle EFB$和$\triangle EDB$中，
$\begin{cases} \angle 6 = \angle D, \\ \angle 3 = \angle 4, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴$\triangle EFB \cong \triangle EDB\ (AAS)$，
∴$BF = BD$。
∵$AB = AF + FB$，
∴$AB = AC + BD$。
方法2：补短法
延长$AC$至点$F$，使$AF = AB$，连接$EF$。

∵$AE$平分$\angle CAB$，$BE$平分$\angle DBA$，
∴$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。
在$\triangle AEF$和$\triangle AEB$中，
$\begin{cases} AF = AB, \\ \angle 1 = \angle 2, \\ AE = AE, \end{cases}$
∴$\triangle AEF \cong \triangle AEB\ (SAS)$，
∴$EF = EB$，$\angle F = \angle 3$。
∵$\angle 3 = \angle 4$，
∴$\angle F = \angle 4$。
∵$AC // BD$，
∴$\angle FCE = \angle D$。
在$\triangle CEF$和$\triangle DEB$中，
$\begin{cases} \angle FCE = \angle D, \\ \angle F = \angle 4, \\ EF = EB, \end{cases}$
∴$\triangle CEF \cong \triangle DEB\ (AAS)$，
∴$FC = BD$。
∵$AF = AC + FC$且$AF = AB$，
∴$AB = AC + BD$。
综上，$AB = AC + BD$。