《2025年同步解析与测评学考练八年级数学上册人教版》

问题1 请你从几何直观的角度用图形的面积解释平方差公式。

答案： 考虑一个正方形，其边长为 $a$，因此其面积为 $P = a × a = a^{2}$。
从该正方形的一个角落切去一个边长为 $b$ 的小正方形，其中 $b ＜ a$，切去的小正方形面积为 $Q = b × b = b^{2}$。
剩余部分是一个L形区域，其面积可以表示为 $R = P - Q$。
根据几何图形，L形区域也可以看作是由两个矩形组成：
一个长为 $a$、宽为 $a - b$ 的矩形，
另一个长为 $a - b$、宽为 $b$ 的矩形。
因此，L形区域的面积也可以表示为：
$R = a × (a - b) + b × (a - b)$
$= a^{2} - ab + ab - b^{2}$
$= a^{2} - b^{2}$
由第3步和第5步，得到：
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
这就用几何图形的面积解释了平方差公式。

问题2 请你说一说平方差公式的结构特征。

答案： 平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，其结构特征如下：
1. 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
2. 右边是相同项的平方减去相反项的平方。

【典型例题1】 计算：
(1) $(x + 1)(x - 1)$；
(2) $(2a - b)(b + 2a)$；
(3) $(-2a - 3b)(2a - 3b)$；
(4) $(m + \frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})(m^2 + \frac{1}{4})$。
思路导引 运用平方差公式计算时,一定要分清谁是公式中的$a$,谁是$b$,相同的项为$a$,互为相反数的项为$b$,不要受字母位置顺序因素干扰。

答案：
(1)
原式$=(x + 1)(x - 1)$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = x$，$b = 1$，则
原式$=x^{2}-1^{2}=x^{2}-1$
(2)
原式$=(2a - b)(2a + b)$
根据平方差公式，这里$a = 2a$，$b = b$，则
原式$=(2a)^{2}-b^{2}=4a^{2}-b^{2}$
(3)
原式$=(-3b + 2a)(-3b - 2a)$（交换式子中两项位置，方便应用公式）
根据平方差公式，这里$a=-3b$，$b = 2a$，则
原式$=(-3b)^{2}-(2a)^{2}=9b^{2}-4a^{2}$
(4)
原式$=(m+\frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})(m^{2}+\frac{1}{4})$
先对$(m+\frac{1}{2})(m - \frac{1}{2})$使用平方差公式，这里$a = m$，$b=\frac{1}{2}$，得到$(m^{2}-\frac{1}{4})$
则原式$=(m^{2}-\frac{1}{4})(m^{2}+\frac{1}{4})$
再对$(m^{2}-\frac{1}{4})(m^{2}+\frac{1}{4})$使用平方差公式，这里$a = m^{2}$，$b=\frac{1}{4}$
原式$=(m^{2})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}=m^{4}-\frac{1}{16}$
综上，答案依次为：
(1)$x^{2}-1$；
(2)$4a^{2}-b^{2}$；
(3)$9b^{2}-4a^{2}$；
(4)$m^{4}-\frac{1}{16}$。