《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

·变式:(1)求$m^{2}+2m+2024$的最小值.
(2)求$4-x^{2}+2x$的最大值.

答案：
(1)$m^{2}+2m+2024=m^{2}+2m+1+2023=(m+1)^{2}+2023$.
$\because (m+1)^{2}\geq0,\therefore (m+1)^{2}+2023\geq2023$.
$\therefore m^{2}+2m+2024$的最小值是2023.
(2)$4-x^{2}+2x=-(x^{2}-2x+1)+5=-(x-1)^{2}+5$.
$\because (x-1)^{2}\geq0,\therefore -(x-1)^{2}\leq0$.
$\therefore -(x-1)^{2}+5\leq5$.
$\therefore 4-x^{2}+2x$的最大值是5.

·母题:阅读材料:若$m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9= 0$,我们可以用如下方法求m和n的值.
解:$\because m^{2}+2mn+2n^{2}-6n+9= 0,$
$\therefore m^{2}+2mn+n^{2}+n^{2}-6n+9= 0.$
$\therefore (m+n)^{2}+(n-3)^{2}= 0.$
$\therefore m+n= 0,n-3= 0.$
$\therefore m= -3,n= 3.$
请根据上述材料,解决下面的问题.
(1)若$x^{2}+2y^{2}-2xy+4y+4= 0$,求$x^{y}$的值.
(2)已知a,b,c是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}= 12a+8b-52$,求c的取值范围.

答案：
(1)$\because x^{2}+2y^{2}-2xy+4y+4=0$,
$\therefore x^{2}-2xy+y^{2}+y^{2}+4y+4=0$.
$\therefore (x-y)^{2}+(y+2)^{2}=0$.
$\therefore x-y=0,y+2=0$,解得$x=-2,y=-2$.
$\therefore x^{y}=(-2)^{-2}=\frac{1}{4}$.
(2)$\because a^{2}+b^{2}=12a+8b-52$,
$\therefore a^{2}-12a+36+b^{2}-8b+16=0$.
$\therefore (a-6)^{2}+(b-4)^{2}=0$.
$\therefore a-6=0,b-4=0$,解得$a=6,b=4$.
$\therefore c$的取值范围是$2＜c＜10$.

·变式1:当a,b为何值时,多项式$a^{2}+b^{2}-4a+6b+28$有最小值,并求出这个最小值.

答案： $a^{2}+b^{2}-4a+6b+28=(a^{2}-4a+4)+(b^{2}+6b+9)+15=(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+15$.
$\because (a-2)^{2}\geq0,(b+3)^{2}\geq0$,
$\therefore (a-2)^{2}+(b+3)^{2}+15\geq15$.
$\therefore$当$a=2,b=-3$时,$a^{2}+b^{2}-4a+6b+28$有最小值15.

·变式2:选取二次多项式$ax^{2}+bx+c(a≠0)$中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.例如:
① 选取二次项和一次项配方:$x^{2}-4x+2= (x-2)^{2}-2$;② 选取二次项和常数项配方:$x^{2}-4x+2= (x-\sqrt {2})^{2}+(2\sqrt {2}-4)x或x^{2}-4x+2= (x+\sqrt {2})^{2}-(4+2\sqrt {2})x$;③ 选取一次项和常数项配方:$x^{2}-4x+2= (\sqrt {2}x-\sqrt {2})^{2}-x^{2}.$
根据上述材料,解决下面的问题.
(1)写出$x^{2}-8x+4$的两种不同形式的配方.
(2)已知$x^{2}+y^{2}+xy-3y+3= 0$,求$x^{y}$的值.

答案：
(1)$x^{2}-8x+4=x^{2}-8x+16-16+4=(x-4)^{2}-12$.
$x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}+4x-8x=(x-2)^{2}-4x$.(答案不唯一)
(2)$\because x^{2}+y^{2}+xy-3y+3=0$,
$\therefore (x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}(y-2)^{2}=0$.
$\therefore x+\frac{y}{2}=0,y-2=0$.
$\therefore x=-1,y=2$,则$x^{y}=(-1)^{2}=1$.