《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

·母题:如图,CD 是$\odot O$的弦,AB 是直径,且$CD\perp AB$,垂足为 P.求证:$PC^{2}= PA\cdot PB$.

答案：
如图，连接AC,BC:

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠APC=∠CPB=90°.
∴∠ACP=∠CBA=90° - ∠A.
∴△ACP∽△CBP.
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PB}$.
∴$PC^{2}$=PA·PB.

·变式1:如图,$\odot O$的直径 AB 交弦(不是直径)CD 于点 P,且$PC^{2}= PB\cdot PA$.求证:$AB\perp CD$.

答案：
如图,连接AC,BD,则∠A=∠D,∠C=∠B.

∴△ACP∽△DBP.
∴$\frac{AP}{DP}$=$\frac{CP}{BP}$.
∴PC·PD=PB·PA.
∵$PC^{2}$=PB·PA,
∴PC=PD,即AB平分CD.
∵AB是直径，
∴AB⊥CD.

·变式2:如图,AB 为$\odot O$的直径,点 C 在$\odot O$上,$AD\perp CD$于点 D,且 AC 平分$\angle DAB$.求证:
(1)直线 DC 是$\odot O$的切线.
(2)$AC^{2}= 2AD\cdot AO$.

答案：

(1)如图，连接OC;
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠OAC;
由题意可知OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.
∴OC//AD.
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD.
∴直线DC是⊙O的切线.

(2)如图，连接BC;
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ADC=∠ACB=90°.
∵∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB.
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$.
∴$AC^{2}$=AD·AB.
∴$AC^{2}$=2AD·AO.

·变式3:如图,在四边形 BFDA 中,$\angle B= 90^{\circ}$,$DF// AB$,以 AD 为直径作$\odot O$,$\odot O$与 BF 的一个交点为 C,$\odot O$交 DF 于点 E,连接 AC,AE,CD,$AB= 3$,$BC= 4$,$CF= 7.2$.
(1)求证:$\triangle CDF\backsim \triangle ACB$.
(2)求直径 AD 的长.
(3)求圆心 O 到弦 ED 的距离.

答案：

(1)
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°.
∵∠B=90°,
∴∠ACB+∠BAC=∠ACB+∠DCF=90°.
∴∠BAC=∠DCF;
∵DF//AB,∠B=90°,
∴∠F=90°.
∴△CDF∽△ACB.
(2)
∵△CDF∽△ACB,
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{BC}{DF}$,即$\frac{3}{7.2}$=$\frac{4}{DF}$.
∴DF=9.6.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°.
∴∠AEF=90°.
∴四边形ABFE是矩形.
∴AE=BF=BC+CF=11.2,EF=AB=3.
∴DE=DF - EF=6.6.
∴AD=$\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{11.2^{2}+6.6^{2}}$=13.
(3)如图，过点O作OH⊥DE于点H.

∴OH//AE,DH=HE.
∵AO=DO,
∴OH=$\frac{1}{2}$AE=5.6,即圆心O到弦ED的距离为5.6.