《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

10. (2023·平阴期末)定义：如果关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$中常数项c是该方程的一个根,那么该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程.
(1)已知关于x的方程$x^{2}+x+c= 0$是常数根一元二次方程,则c的值为______.
(2)如果关于x的方程$x^{2}+2mx+m+1= 0$是常数根一元二次方程,求m的值.

答案：
(1) 0或-2
(2)
∵关于x的方程$x^{2}+2mx+m+1=0$是常数根一元二次方程,
∴方程的一个根为$x=m+1$.
代入方程,得$(m+1)^{2}+2m(m+1)+m+1=0$.
整理,得$3m^{2}+5m+2=0$,
∴$b^{2}-4ac=5^{2}-4× 3× 2=1$.
$\therefore m=\frac{-5\pm 1}{2× 3}$.
∴$m_{1}=-\frac{2}{3},m_{2}=-1$.

11. 已知关于x的方程$x^{2}-(6+m)x+9+3m= 0$.
(1)求证：无论m为何值,方程都有实数根.
(2)若该方程的两个实数根恰是斜边是5的直角三角形的两直角边的长,求m的值.

答案：
(1)
∵$\Delta =[-(6+m)]^{2}-4(9+3m)=m^{2}\geq 0$,
∴无论m为何值,方程都有实数根.
(2) 假设直角三角形的两直角边AB,AC的长是该方程的两个实数根.
$\therefore AB=\frac{6+m+|m|}{2},AC=\frac{6+m-|m|}{2}$.
$\therefore AB+AC=6+m,AB\cdot AC=9+3m$.
∵△ABC是直角三角形,
∴$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$.
$\therefore (AB+AC)^{2}-2AB\cdot AC=BC^{2}$,即$(6+m)^{2}-2× (9+3m)=5^{2}$,解得$m_{1}=-7,m_{2}=1$.
∵$m=-7$时,$AB\cdot AC=9+3m＜0$,不符合题意,
∴m的值是1.

12. 定义新运算“⊕”：对于实数m,n,p,q,有$[m,p]\oplus[q,n]= mn+pq$,其中等式的右边是通常的加法和乘法运算.例如：$[4,5]\oplus[2,6]= 4×6+5×2= 34$.
(1)求关于x的方程$[x^{2},x-1]\oplus[3,2]= 0$的根.
(2)若关于x的方程$[x^{2}+1,x]\oplus[1-2k,k]= 0$有两个相等的实数根,求k的值和相应的实数根.

答案：
(1)
∵$[x^{2},x-1]\oplus [3,2]=0$,
$\therefore 2x^{2}+3(x-1)=0$,即$2x^{2}+3x-3=0$.
∵$b^{2}-4ac=9-4× 2× (-3)=33＞0$,
$\therefore x=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{4}$.
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{33}}{4},x_{2}=\frac{-3-\sqrt{33}}{4}$.
(2)
∵$[x^{2}+1,x]\oplus [1-2k,k]=0$,
∴$k(x^{2}+1)+(1-2k)x=0$,即$kx^{2}+(1-2k)x+k=0$.
∵方程有两个相等的实数根,
$\therefore b^{2}-4ac=(1-2k)^{2}-4k\cdot k=0$,且$k\neq 0$,解得$k=\frac{1}{4}$.
$\therefore \frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=0$.
$\therefore \frac{1}{4}(x+1)^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$.
∴k的值为$\frac{1}{4}$,实数根为-1.