《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

12. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE//BC,M是BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM,交DE于点N.求证:$\frac{DN}{BM}= \frac{NE}{MC}$.

答案：
∵DN//BM,
∴△ADN∽△ABM;
∴$\frac{DN}{BM}$=$\frac{AN}{AM}$.
∵NE//MC,
∴△ANE∽△AMC;
∴$\frac{NE}{MC}$=$\frac{AN}{AM}$.
∴$\frac{DN}{BM}$=$\frac{NE}{MC}$.

13. 如图,AC//DF,AB//DE.
(1)求证:△ABC∽△DEF.
(2)若BE= 2CE= 4CF,求$\frac{AC}{DF}$的值.

答案：
(1)
∵AC//DF,AB//DE,
∴△ABC∽△GEC,△DEF∽△GEC;
∴△ABC∽△DEF;
(2)
∵BE=2CE=4CF,
∴BC:EF=2:1.
∵△ABC∽△DEF,
∴$\frac{AC}{DF}$=$\frac{BC}{EF}$=2.

14. 如图,直线$l_1// l_2// l_3$,AC分别交$l_1$,$l_2$,$l_3$于点A,B,C,DF分别交$l_1$,$l_2$,$l_3$于点D,E,F,AC与DF交于点O.已知OD= 6,OF= 6,AO= 8.
(1)求AC的长.
(2)若BE:AD= 1:4,求$\frac{OB}{AB}$的值.

答案：
(1)
∵$l_{1}$//$l_{3}$,
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{DO}{OF}$=$\frac{6}{6}$=1.
∵AO=8,
∴OC=8.
∴AC=16.
(2)
∵$l_{1}$//$l_{2}$,
∴△OBE∽△OAD.
∴$\frac{BE}{AD}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{4}$.
∴$\frac{OB}{AB}$=$\frac{1}{3}$.

15. 如图,在△ABC中,D是BC上一点,$\frac{BD}{DC}= \frac{5}{3}$,E是AD上一点,连接BE并延长,交AC于点F.
(1)若E是AD的中点,求$\frac{AF}{AC}$的值.
(2)若AC= nAF,则$\frac{AE}{AD}= $ (用含n的代数式表示).

答案：

(1)如图，过点D作DG//AC,交BF于点G.

∵E是AD的中点，易证△AEF≌△DEG;
∴DG=AF.
∵DG//AC,$\frac{BD}{DC}$=$\frac{5}{3}$,
∴△BDG∽△BCF.
∴$\frac{DG}{CF}$=$\frac{5}{8}$.
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{5}{8}$.
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{5}{13}$.
(2)$\frac{8}{3+5n}$