《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

13. 正方形的边长为4,当边长增加x时,面积增加y,求y与x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?

答案： 由题意,得(x+4)²=y+4².　　整理,得y=x²+8x.这个函数是二次函数.

14. 如图,在正方形ABCD中,AB= 4,E是BC上一点,F是CD上一点,且AE= AF,设$ S_{\triangle ECF}= y $,$ BE= x $.
(1)求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2)当△AEF是正三角形时,求BE的长.

答案：
(1)在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,AE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).
∴BE=DF;
∵BE=x,AB=BC=CD=4,
∴EC=CF=4-x;
∴S△ECF=y=$\frac{1}{2}$EC·CF=$\frac{1}{2}$(4-x)²=$\frac{1}{2}$x²-4x+8.
∵E,F分别是BC,CD边上的动点，且保证点C,E,F能构成三角形，
∴x的取值范围为0≤x＜4.　　
(2)由题意,得AE=AF=√(4²+x²),EF=√[2(4-x)²]
∴√(4²+x²)=√[2(4-x)²]
∴x²-16x+16=0,解得x₁=8+4√3(舍去),x₂=8-4√3.
∴BE的长为8-4√3;

15. 如图,在四边形ABCD中,$ \angle BAD= \angle ACB= 90^{\circ} $,AB= AD,AC= 4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,求y与x之间的函数解析式.

答案：
如图，过点D作DF⊥AC,垂足为F;　　　　　　　　　
∵∠BAD=∠ACB=∠AFD=90°,
∴∠BAC+∠FAD=90°,∠B+∠BAC=90°.
∴∠FAD=∠B.
∵AB=AD,
∴△ABC≌△DAF(AAS).
∴BC=AF,AC=DF;　　设BC=AF=a,则AC=DF=4BC=4a.
∴CF=AC-AF=3a.
∴CD=√(CF²+DF²)=5a.
∵CD=x,
∴a=$\frac{1}{5}$x.
∴y=2S△ABC+S△CDF=2×$\frac{1}{2}$×a×4a+$\frac{1}{2}$×3a×4a=10a²=$\frac{2}{5}$x².