《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

·母题:用配方法解下面的一元二次方程.
(1)$2x^{2}+4x-3= 0.$
(2)$3x^{2}-8x-3= 0.$

答案：
(1)化系数为1,得$x^{2}+2x-\frac{3}{2}=0$.
配方,得$(x+1)^{2}=\frac{5}{2}$.
$\therefore x+1=\frac{\sqrt{10}}{2}$或$x+1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$.
$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{10}}{2}-1,x_{2}=-\frac{\sqrt{10}}{2}-1$.
(2)化系数为1,得$x^{2}-\frac{8}{3}x-1=0$.
配方,得$(x-\frac{4}{3})^{2}=\frac{25}{9}$.
$\therefore x-\frac{4}{3}=\frac{5}{3}$或$x-\frac{4}{3}=-\frac{5}{3}$.
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-\frac{1}{3}$.

·变式:若关于x的一元二次方程$x^{2}-6x+k= 0通过配方法可以化成(x+m)^{2}= n(n≥0)$的形式,则k的值不可能是 ( )

A.3
B.6
C.9
D.10

答案： D

二、代数式的配方
·母题:已知$4x^{2}+8(n+1)x+16n$是一个关于x的完全平方式,求常数n的值.

答案： $4x^{2}+8(n+1)x+16n=4[x^{2}+2(n+1)x]+16n=4[x^{2}+2(n+1)x+(n+1)^{2}]-4(n+1)^{2}+16n$.
$\because 4x^{2}+8(n+1)x+16n$是一个关于x的完全平方式,
$\therefore -4(n+1)^{2}+16n=0$,解得$n_{1}=n_{2}=1$.
$\therefore$常数n的值为1.

·变式:已知$9x^{2}+18(n-1)x+18n$是一个关于x的完全平方式,求常数n的值.

答案： $9x^{2}+18(n-1)x+18n=9[x^{2}+2(n-1)x]+18n=9[x^{2}+2(n-1)x+(n-1)^{2}]-9(n-1)^{2}+18n$.
$\because 9x^{2}+18(n-1)x+18n$是一个关于x的完全平方式,
$\therefore -9(n-1)^{2}+18n=0$,解得$n_{1}=2+\sqrt{3},n_{2}=2-\sqrt{3}$.
$\therefore$常数n的值为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$.

·母题:阅读材料:我们可以通过以下方法求代数式$x^{2}+6x+5$的最小值.
$\because x^{2}+6x+5= x^{2}+2×(3x)+3^{2}-3^{2}+5= (x+3)^{2}-4$,且$(x+3)^{2}≥0,$
∴当$x= -3$时,$x^{2}+6x+5$有最小值-4.
请根据上述方法,解答下列问题.
(1)若$x^{2}+4x-1= (x+a)^{2}+b$,则ab的值是______.
(2)求证:无论x取何值,二次根式$\sqrt {x^{2}+x+4}$都有意义.
(3)若代数式$2x^{2}+kx+7$的最小值是2,求k的值.

答案：
(1)-10
(2)$x^{2}+x+4=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}$.
$\because (x+\frac{1}{2})^{2}\geq0,\therefore (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\geq\frac{15}{4}$.
$\therefore$无论x取何值,二次根式$\sqrt{x^{2}+x+4}$都有意义.
(3)原式$=2(x^{2}+\frac{k}{2}x)+7$
$=2(x^{2}+\frac{k}{2}x+\frac{k^{2}}{16})+7-\frac{k^{2}}{8}$
$=2(x+\frac{k}{4})^{2}+7-\frac{k^{2}}{8}$.
$\because 2(x+\frac{k}{4})^{2}\geq0,\therefore 2(x+\frac{k}{4})^{2}+7-\frac{k^{2}}{8}\geq7-\frac{k^{2}}{8}$.
$\because$代数式$2x^{2}+kx+7$的最小值是2,
$\therefore 7-\frac{k^{2}}{8}=2.\therefore k^{2}=40.\therefore k=\pm 2\sqrt{10}$.