《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

10. 已知圆内接正三角形的面积为$\sqrt{3}$,则该圆的内接正六边形的边心距是______.

答案： 1

11. 如图,在正八边形 ABCDEFGH 中,连接AC,AE,则$\frac{AC}{AE}$的值为______.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

12. 如图,在正五边形 ABCDE 中,连接 AC,以点 A 为圆心,AB 为半径画圆弧,交 AC 于点 F,连接 DF. 则∠FDC= ______.

答案： 36°

13. 下图是六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形. 若PQ 所在的直线经过点 M,PB= 5 cm,小正六边形的面积为$\frac{49\sqrt{3}}{2}$cm^2,则该圆的半径为______cm.

答案：
8 解析:如图,延长 PQ 至点 M,连接 OC,OM,OQ,OB,OP,过点 P 作 PH⊥OB 于点 H,易证△OCQ 与△MCQ 均为正三角形.

∵小正六边形的面积为$\frac{49\sqrt{3}}{2}$cm²,
∴6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$OC²=$\frac{49\sqrt{3}}{2}$,解得 OC=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
∴OM=$\sqrt{3}$OC=7(cm).
∴OP=OM=7 cm.
∵PB=5,∠PBH=60°,
∴BH=$\frac{5}{2}$cm,PH=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$cm.
∴OH=$\sqrt{OP^2-PH^2}$=$\frac{11}{2}$(cm).
∴OB=OH+BH=8(cm),即该圆的半径为 8 cm.

14. 如图,A,B,C,D,E 是⊙O 上的五等分点,分别连接 AC,CE,EB,BD,DA,可以得到一个五角星图形和五边形 MNFGH.
(1) 求∠CAD 的度数.
(2) 连接 AE,求证:AE= ME.

答案：
(1)
∵A,B,C,D,E 是⊙O 上的五等分点,
∴∠COD=$\frac{360^\circ}{5}$=72°.
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=36°.
(2)由题
(1),得∠EBD=∠BDA=∠CAD=36°.
∵∠AEB=∠BDA=36°,∠DAE=∠EBD=36°,
∴∠MAE=72°.
∴∠AME=180°-72°-36°=72°=∠MAE.
∴AE=ME.

15. 如图,已知⊙O 和⊙O 上的一点 A,请完成下列任务.
(1) 作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF.
(2) 连接 BF,CE,判断四边形 BCEF 的形状,并加以证明.

答案：

(1)如图,首先作直径 AD,然后分别以 A,D 为圆心,OA 长为半径画弧,交⊙O 于点 B,F,C,E,连接 AB,BC,CD,DE,EF,AF,则正六边形 ABCDEF 即为所求.

(2)四边形 BCEF 是矩形.
证明:如图,连接 BE,CF,则 BE,CF 相交于点 O.
∵六边形 ABCDEF 是正六边形,
∴AB=AF=DE=DC,FE=BC.
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AF}$=$\overset{\frown}{DE}$=$\overset{\frown}{DC}$.
∴$\overset{\frown}{BF}$=$\overset{\frown}{CE}$.
∴BF=CE,
∴四边形 BCEF 是平行四边形.
∵BE=CF,
∴四边形 BCEF 是矩形.

16. 公元三世纪中期,我国魏晋时期的数学家刘徽创立了"割圆术",为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法. 所谓"割圆术",是通过不断倍增圆内接正多边形的边数,间接求出圆面积和周长的方法. 如图,在半径为2 的圆内作两个正方形,得到一个正八边形,则涂色部分的面积为( )


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$24-16\sqrt{2}$
D.$48-32\sqrt{2}$

答案： C