《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

11. (2023·镇海期末)如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC边上,DE//BC,AF⊥BC于点F,DE与AF交于点G.若△ADE与四边形DBCE的面积相等,则FG:AG的值为 ( )

A.$\frac{1}{3}$
B.$\sqrt{2}-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B

12. 如图,在△ABC中,DE//FG//BC,AD:DF:FB= 1:2:3,△ABC的面积为18,则四边形DEGF的面积为______.

答案： 4

13. 三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫作三角形的重心.如图,点G是△ABC的重心.若AD= 6,则GD= ______.

答案： 2

14. (2023·江都期末)如图,在Rt△ABC中,∠A= 90°,AC= 9,BC= 15.
(1) 求BC边上的高AD的长.
(2) 正方形的一边FG在BC上,另两个顶点E,H分别在边AB,AC上,求正方形EFGH的边长.

答案：

(1)在Rt△ABC中,∠A = 90°,AC = 9,BC = 15,
∴ AB = $\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{15^2 - 9^2}=12$.
∵ S_△ABC = $\frac{1}{2}$AB·AC = $\frac{1}{2}$BC·AD,
∴ AD = $\frac{AB·AC}{BC}=\frac{12×9}{15}=\frac{36}{5}$.
(2)如图，设AD与EH交于点M.
∵ ∠EFD = ∠FEM = ∠FDM = 90°,
∴ 四边形EFDM是矩形.
∴ EF = DM.
∵ 四边形EFGH是正方形,
∴ EH//BC.
∴ △AEH∽△ABC.设正方形EFGH的边长为x.
∴ $\frac{AM}{AD}=\frac{EH}{BC}$,即$\frac{\frac{36}{5}-x}{\frac{36}{5}}=\frac{x}{15}$,解得x = $\frac{180}{37}$.
∴ 正方形EFGH的边长为$\frac{180}{37}$.

15. 如图,在菱形ABCD中,点E在BC边上(不与点B,C重合),连接AE,BD,交于点G.
(1) 若AG= BG,AB= 4,BD= 6,求DG的长.
(2) 设BC= kBE,△BGE的面积为S,△AGD和四边形CDGE的面积分别为$S_1和S_2$,将$S_1和S_2$分别用含k,S的代数式表示出来.
(3) 在题(2)的条件下,求$\frac{S_2}{S_1}$的最大值.

答案：
(1)
∵ AG = BG,
∴ ∠BAG = ∠ABG.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ AB = AD.
∴ ∠ABD = ∠ADB.
∴ ∠BAG = ∠ADB.
∴ △BAG∽△BDA.
∴ $\frac{BA}{BD}=\frac{BG}{BA}$,即$\frac{4}{6}=\frac{BG}{4}$.
∴ BG = $\frac{8}{3}$.
∴ DG = BD - BG = 6 - $\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$.
(2)
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ BC = AD = kBE,AD//BC.
∴ △ADG∽△EBG.
∴ $\frac{DG}{BG}=\frac{AD}{BE}=k$,$\frac{S_1}{S}=(\frac{AD}{BE})^2=k^2$.
∴ S₁ = k²S.
∴ $\frac{S_1}{S_{\triangle AEG}}=\frac{DG}{BG}=k$.
∴ S_△AEG = $\frac{S_1}{k}=kS$.
∵ S_△BDC = S_△ABD,
∴ S₂ = S₁ + S_△AEG - S = k²S + kS - S = (k² + k - 1)S.
(3)
∵ $\frac{S_2}{S_1}=\frac{k^2 + k - 1}{k^2}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k^2}=-(\frac{1}{k}-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$,
∴ $\frac{S_2}{S_1}$的最大值为$\frac{5}{4}$.