《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

二、切线的判定
·母题:如图,直线AB经过⊙O上一点C,且OA= OB,CA= CB.求证:直线AB是⊙O的切线.

答案： 连接OC.
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线.

·变式1:如图,DC是⊙O的直径,点B在圆上,直线AB交CD的延长线于点A,且∠ABD= ∠C.求证:AB是⊙O的切线.

答案： 连接OB.
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB.
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠ODB+∠C=90°.
∵∠ABD=∠C，
∴∠ABO=∠OBD+∠ABD=∠ODB+∠C=90°.
∴AB是⊙O的切线.

·变式2:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,若∠BAC= ∠CAM,过点C作直线l垂直于射线AM,垂足为D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若直线l与AB的延长线相交于点E,⊙O的半径为3,并且∠CAB= 30°,求CE的长.

答案：

(1)CD与⊙O相切.理由:如图，连接OC.
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA.
∵∠BAC=∠CAM，
∴∠OCA=∠CAM，
∴OC//AM.
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∴CD与⊙O相切.
(2)
∵∠CAB=30°，
∴∠COE=2∠CAB=60°.在Rt△COE中，OC=3，
∴$CE=3\sqrt{3}$.

·变式3:如图,在Rt△ACB中,∠ACB= 90°,以AC为直径作⊙O,交AB于点D,E是BC的中点,连接DE并延长,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若CF= 2,DF= 4,求⊙O的直径.

答案：

(1)如图，连接OD，CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDC=90°.
∵E是BC的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}BC=CE$.
∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD.
∴∠ODE=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴DE是⊙O的切线.
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，$OD^2+DF^2=OF^2$，即$x^2+4^2=(x + 2)^2$，解得x=3.
∴⊙O的直径为6.