《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

一、切线的性质
·母题:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点.求证:AP= BP.

答案： 连接OP.
∵AB是小圆的切线，
∴OP⊥AB.在大圆中由垂径定理，得AP=BP.

·变式1:如图,一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等,⊙O与BC相切于点C,⊙O与AC相交于点E,则CE的长为( )


A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.3

答案：
变式1:D　解析:如图，连接OC,并过点O作OF⊥CE于点F.
∵△ABC是等边三角形，边长为4，
∴△ABC的高为$2\sqrt{3}$，
∴$OC=\sqrt{3}$.
∵∠OCB=90°，∠ACB=60°，
∴∠OCF=30°.在Rt△OFC中，可得$OF=\frac{1}{2}OC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$FC=\sqrt{3}OF=\frac{3}{2}$.
∴CE=2FC=3.

·变式2:如图,AB是⊙O的直径,PQ切⊙O于点T,AC⊥PQ于点C,交⊙O于点D.
(1)求证:AT平分∠BAC.
(2)若AD= 2,TC= $\sqrt{3}$,求⊙O的半径.

答案：

(1)如图，连接OT.
∵PQ切⊙O于点T，
∴OT⊥PQ.
∵AC⊥PQ，
∴OT//AC，
∴∠TAC=∠ATO.
∵OT=OA，
∴∠ATO=∠TAO.
∴∠TAO=∠TAC，即AT平分∠BAC.
(2)如图，过点O作OM⊥AC于点M.
∴$AM=MD=\frac{1}{2}AD=1$.
∵∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，
∴四边形OTCM是矩形，
∴$OM=TC=\sqrt{3}$.在Rt△AOM中，$AO=\sqrt{OM^2+AM^2}=2$.
∴⊙O的半径为2.

·变式3:如图,⊙O上有A,B,C三点,D是OB延长线上的点,∠BDC= 30°,CD是⊙O的切线,⊙O的半径为$\sqrt{2}$.
(1)求∠A的度数.
(2)如果AC//BD,请判断四边形ACDB是什么四边形,并求其周长.

答案：

(1)如图，连接OC.
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD=90°.
∵∠BDC=30°，
∴∠BOC=90° - ∠BDC=60°.
∴$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOC=30^\circ$.
(2)四边形ACDB是平行四边形.
∵AC//BD，
∴∠D+∠ACD=180°.
∴∠ACD=150°.
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB//CD.
∴四边形ACDB是平行四边形.在Rt△DOC中，∠OCD=90°，∠BDC=30°，
∴$OD=2OC=2\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{3}OC=\sqrt{6}$.
∴$BD=OD - OB=\sqrt{2}$.
∴▱ACDB的周长为$2\sqrt{2}+2\sqrt{6}$.

·变式4:如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,E是AB上一点,O是BC上一点,∠C= ∠BEO,以点O为圆心,OB长为半径作⊙O,AC是⊙O的切线.
(1)求证:OE= OC.
(2)若BE= 4,BC= 8,求OE的长.

答案：

(1)如图，设AC切⊙O于点Q，连接OQ.
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CQO=90°.
∵∠B=∠CQO=90°，∠BEO=∠C，BO=QO，
∴△OBE≌△OQC(AAS)，
∴OE=OC.
(2)设OE=OC=x，则BO=BC - OC=8 - x.在Rt△OBE中，$BE^2+BO^2=OE^2$，
∴$4^2+(8 - x)^2=x^2$，
∴x=5，即OE=5.