《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 3,点D在边AC上,且AD= 2CD,DE⊥AB,垂足为E,连接CE,则∠ECB的正弦值为 ( )

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： D

9. 如图,AB是⊙O的弦,点C在AB的延长线上,AB= 2BC,连接OA,OC. 若∠OAC= 45°,则tan C的值为 ( )

A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.2

答案： B

10. 如图,在△ABC和△DEF中,∠B= 40°,∠E= 140°,AB= EF= 5,BC= DE= 8,比较S△ABC与S△DEF的大小关系.

答案：
如图①，过点 A 作 $AG\perp BC$，垂足为 G.
∵ $AG = \sin B\cdot AB = 5\sin 40^\circ$,
∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AG = 20\sin 40^\circ$.如图②，过点 D 作 $DH\perp EF$，交 FE 的延长线于点 H.
∵ $\angle DEF = 140^\circ$,
∴ $\angle DEH = 40^\circ$.
∴ $DH = \sin\angle DEH\cdot DE = 8\sin 40^\circ$.
∴ $S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}EF\cdot DH = 20\sin 40^\circ$.
∴ $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle DEF}$.

11. 在△ABC中,AB= 12,AC= $\sqrt{39}$,∠B= 30°,求△ABC的面积.

答案：
分两种情况:① 如图①，过点 A 作 $AD\perp BC$，垂足为 D.在 Rt△ABD 中,$AB = 12$,$\angle B = 30^\circ$,
∴ $AD = \frac{1}{2}AB = 6$,$BD = AB\cdot\cos B = 12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.在 Rt△ACD 中,$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2}=\sqrt{(\sqrt{39})^2 - 6^2}=\sqrt{3}$,
∴ $BC = BD + CD = 6\sqrt{3}+\sqrt{3}=7\sqrt{3}$.
∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×7\sqrt{3}×6 = 21\sqrt{3}$. ② 如图②，过点 A 作 $AD\perp BC$，交 BC 的延长线于点 D.由①知,$AD = 6$,$BD = 6\sqrt{3}$,$CD = \sqrt{3}$.
∴ $BC = BD - CD = 5\sqrt{3}$.
∴ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×5\sqrt{3}×6 = 15\sqrt{3}$.综上所述，△ABC 的面积为 $21\sqrt{3}$ 或 $15\sqrt{3}$.

12. 如图,用12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格,小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点,这个大矩形网格的宽为6,△ABC的顶点都在格点上.
(1)求每个小矩形的长与宽.
(2)在矩形网格中找一格点E,使△ABE是直角三角形,直接写出所有满足条件的AE的长.
(3)求sin∠BAC的值.

答案：

(1) 设每个小矩形的长为 x，宽为 y.由题意，得 $\begin{cases}x + 2y = 6\\2y = x\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x = 3\\y = 1.5\end{cases}$.
∴ 每个小矩形的长为 3，宽为 1.5.
(2) 如图①所示,$AE = 3$ 或 $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ 或 $3\sqrt{5}$.
(3) 如图②，过点 B 作 $BP\perp AC$ 于点 P，$BM = MN = \frac{3}{2}$，$AM = 3$.
∵ $AM\perp BN$，
∴ $AB = AN = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
∵ $S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}BN\cdot AM=\frac{1}{2}AN\cdot BP$，
∴ $BP = \frac{AM\cdot BN}{AN}=\frac{3× 3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$.在 Rt△ABP 中,$\sin\angle BAC = \sin\angle BAP = \frac{BP}{AB}=\frac{4}{5}$.