《2025年一阅优品作业本九年级数学全一册人教版》

10. 如图,⊙O 的半径为 6 cm,B 是⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,且 OA= AB,动点 P 从点 A 出发,以 2π cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周,回到点 A 立即停止. 当点 P 运动的时间为___s 时,BP 与⊙O 相切.

答案： 1 或 5

11. 如图,⊙O 的半径 OA= 2,B 是⊙O 上的动点(不与点 A 重合),过点 B 作⊙O 的切线 BC,BC= OA,连接 OC,AC. 当△OAC 是直角三角形时,其斜边长为___.

答案： $2\sqrt{3}$或$2\sqrt{2}$

12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,以 AC 为直径的半圆交斜边 AB 于点 D,E 是 BC 的中点,连接 DE,CD,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
(1) 求证:DE 是半圆 O 的切线.
(2) 若 AD= 5,DF= 3,求半圆 O 的半径.

答案：
(1)连接 OD.
∵ AC 是直径,
∴ ∠CDA = ∠BDC = 90°.
∵ E 是 BC 的中点,
∴ EC = BE = DE.
∴ ∠ECD = ∠EDC.
∵ OD = OC,
∴ ∠OCD = ∠ODC.
∴ ∠ECD + ∠OCD = ∠EDC + ∠ODC,即∠ECO = ∠EDO = 90°.
∴ DE 是⊙O 的切线.
(2)在 Rt△ADF 中,AD = 5,DF = 3,
∴ $AF=\sqrt{AD^2 - DF^2}=4$.设圆的半径为 r,则 OF = AF - OA = 4 - r.在 Rt△DFO 中,$DF^2 + OF^2 = OD^2$,即$3^2 + (4 - r)^2 = r^2$,解得$r=\frac{25}{8}$.
∴ 半圆 O 的半径为$\frac{25}{8}$.

13. 如图,△ABC 的边 AB 是⊙O 的切线,切点为 B,AC 经过圆心 O,并与圆相交于点 D,C,过点 C 作直线 CE⊥AB,交 AB 的延长线于点 E.
(1) 求证:CB 平分∠ACE.
(2) 若 BE= 3,CE= 4,求⊙O 的半径.

答案：

(1)如图,连接 OB.
∵ AB 是⊙O 的切线,
∴ OB⊥AB.
∵ CE⊥AB,
∴ OB//CE.
∴ ∠1 = ∠3.
∵ OB = OC,
∴ ∠1 = ∠2.
∴ ∠2 = ∠3.
∴ CB 平分∠ACE.
(2)如图,作 BF⊥CD 于点 F.
∵ ∠2 = ∠3,BE⊥CE,BF⊥CD,
∴ BF = BE = 3,CF = CE = 4,$BC=\sqrt{BE^2 + CE^2}=5$.设⊙O 的半径为 r,则 OF = CF - OC = 4 - r.在 Rt△OBF 中,$OB^2 = OF^2 + BF^2$,即$r^2 = (4 - r)^2 + 3^2$,解得$r=\frac{25}{8}$.
∴ ⊙O 的半径为$\frac{25}{8}$.

14. 已知△ABC 内接于⊙O,过点 A 作直线 EF.
(1) 如图①,AB 是直径,要使 EF 是⊙O 的切线,还须添加一个条件是(写出两种情况):___.
(2) 如图②,若 AB 是非直径的弦,∠CAE= ∠B,则 EF 是⊙O 的切线吗?为什么?

答案：

(1)EF⊥AB 或∠ABC = ∠EAC
(2)EF 是⊙O 的切线.理由:如图,连接 AO,交⊙O 于点 D,连接 CD.
∵ AD 是直径,
∴ ∠ACD = 90°.
∴ ∠D + ∠CAD = 90°.
∵ ∠D = ∠B,∠CAE = ∠B,
∴ ∠CAE = ∠D.
∴ ∠CAE + ∠CAD = 90°.
∴ AD⊥EF.
∴ EF 是⊙O 的切线.