《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例5 若自然数$x ＜ y ＜ z$,$a$为整数,且$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = a$,试求$x,y,z$的值。
思路点拨 可先设$x \geq 1$,$y \geq 2$,$z \geq 3$,根据$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = a$,$a$为整数,当$x = 1$时进行分析,看是否符合题意；当$x \geq 3$时进行分析,看是否符合题意；最后令$x = 2$,进行分析,看是否符合题意,从而得到结果。
解题过程 由题设可知$x \geq 1$,$y \geq 2$,$z \geq 3$,$\therefore 0 ＜ a \leq \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1\frac{5}{6}$。$\because a$是整数,$\therefore a = 1$。若$x = 1$,则$1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$,$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$,与题意不符,$\therefore x \neq 1$。
当$x \geq 3$时,$a = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60} ＜ 1$,也不成立,$\therefore x$只能为2。
当$x = 2$时,$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。令$y = 3$,则$z = 6$。令$y \geq 4$,则$\frac{1}{y} \leq \frac{1}{4}$。由题意可知,自然数$y ＜ z$,$\therefore \frac{1}{z} \leq \frac{1}{5}$。$\therefore \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20} ＜ \frac{1}{2}$。不成立。$\therefore$本题只有一组解,即$x = 2$,$y = 3$,$z = 6$。
方法归纳 解答本题的关键是将等式转化为不等式,主要利用缩放法及极端思想,选用特殊值对等式的一边进行缩放,得到不等式,关键在于分类讨论。
易错误区 本题的难点和易错点在于根据条件合理的确定参数$a$的值,然后转化为不等式进行分类讨论求解,特别注意合理缩放。

答案： 解：由题意得，自然数$x ＜ y ＜ z$，$a$为整数，且$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = a$。
因为$x$，$y$，$z$是自然数且$x ＜ y ＜ z$，所以$x \geq 1$，$y \geq x + 1$，$z \geq y + 1$，则$x \geq 1$，$y \geq 2$，$z \geq 3$。
所以$0 ＜ a = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 1\frac{5}{6}$，又因为$a$为整数，故$a = 1$。
若$x = 1$，则$1 + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$，不符合题意，所以$x \neq 1$。
当$x \geq 3$时，$a = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{47}{60} ＜ 1$，不成立，所以$x$只能为$2$。
当$x = 2$时，$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
因为$y ＞ x = 2$，所以$y \geq 3$。令$y = 3$，则$\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$，解得$z = 6$。
若$y \geq 4$，则$\frac{1}{y} \leq \frac{1}{4}$，又因为$z ＞ y$，所以$z \geq y + 1 \geq 5$，$\frac{1}{z} \leq \frac{1}{5}$，则$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20} ＜ \frac{1}{2}$，不成立。
综上，$x = 2$，$y = 3$，$z = 6$。
答案：$x = 2$，$y = 3$，$z = 6$。

例 设$a ＞ 0 ＞ b ＞ c$,且$a + b + c = -1$,若$M = \frac{b + c}{a}$,$N = \frac{a + c}{b}$,$P = \frac{a + b}{c}$,试比较$M,N,P$的大小。
思路点拨 由$a + b + c = -1可得b + c = -1 - a$,所以$M = \frac{-1 - a}{a} = -1 - \frac{1}{a}$,同理$N = -1 - \frac{1}{b}$,$P = -1 - \frac{1}{c}$,然后根据$a,b,c$的大小比较即可。
解题过程 $\because a + b + c = -1$,$\therefore b + c = -1 - a$。$\therefore M = \frac{-1 - a}{a} = -1 - \frac{1}{a}$。同理可得$N = \frac{-1 - b}{b} = -1 - \frac{1}{b}$,$P = \frac{-1 - c}{c} = -1 - \frac{1}{c}$。又$\because a ＞ 0 ＞ b ＞ c$,$\therefore \frac{1}{a} ＞ 0 ＞ \frac{1}{c} ＞ \frac{1}{b}$。$\therefore -1 - \frac{1}{a} ＜ -1 ＜ -1 - \frac{1}{c} ＜ -1 - \frac{1}{b}$,即$M ＜ P ＜ N$。
方法归纳 本题考查不等式的基本性质,关键是$M,N,P$的等价变形,利用了整体思想消元,转化为比较$a,b,c$的大小关系。
易错误区 由$a ＞ 0 ＞ b ＞ c得到\frac{1}{a} ＞ 0 ＞ \frac{1}{c} ＞ \frac{1}{b}$是本题易错点,特别注意$\frac{1}{c}和\frac{1}{b}$是负数,对于负数,绝对值大的反而小。

答案： 解：
∵a + b + c = -1，
∴b + c = -1 - a，
∴M = $\frac{b + c}{a}$ = $\frac{-1 - a}{a}$ = -1 - $\frac{1}{a}$。
同理可得：N = $\frac{a + c}{b}$ = $\frac{-1 - b}{b}$ = -1 - $\frac{1}{b}$，
P = $\frac{a + b}{c}$ = $\frac{-1 - c}{c}$ = -1 - $\frac{1}{c}$。
∵a ＞ 0 ＞ b ＞ c，
∴$\frac{1}{a}$ ＞ 0，$\frac{1}{b}$ ＜ $\frac{1}{c}$ ＜ 0，
∴ - $\frac{1}{a}$ ＜ 0， - $\frac{1}{c}$ ＜ - $\frac{1}{b}$，
∴ -1 - $\frac{1}{a}$ ＜ -1， -1 - $\frac{1}{c}$ ＜ -1 - $\frac{1}{b}$，
即 M ＜ -1 ＜ P ＜ N，
∴M ＜ P ＜ N。