《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

1. 【泸州】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲。如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形。设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b。若$ab= 8$,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )。

A.9
B.6
C.4
D.3

答案： D

2. 【陕西】如图,将两个大小、形状完全相同的$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$拼在一起,其中点$A'$与点A重合,点$C'$落在边AB上,连结$B'C$。若$\angle ACB= \angle AC'B'= 90^\circ$,$AC= BC= 3$,则$B'C$的长为( )。

A.$3\sqrt{3}$
B.6
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{21}$

答案： A

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 6$,$AC= 9$,$AD \perp BC$于点D,M为AD上任一点,则$MC^2-MB^2= $______。

答案： 45

4. 【黑龙江】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= BC= 8$,$AO= BO$,M是射线CO上的一个动点,$\angle AOC= 60^\circ$,则当$\triangle ABM$为直角三角形时,AM的长为______。

答案： $4\sqrt{3}$或$4\sqrt{7}$或$4$

5. 【广东】如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle B= 30^\circ$,$\angle ACB= 90^\circ$,$CD \perp AB$交AB于点D,以CD为较短的直角边向$\triangle CDB的同侧作Rt\triangle DEC$,满足$\angle E= 30^\circ$,$\angle DCE= 90^\circ$,再用同样的方法作$Rt\triangle FGC$,$\angle FCG= 90^\circ$,继续用同样的方法作$Rt\triangle HIC$,$\angle HCI= 90^\circ$。若$AC= a$,求CI的长。

答案： 在$Rt\triangle ACB$中，$\angle B=30^{\circ}$，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore \angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。$\because CD\perp AB$，$\therefore \angle ADC=90^{\circ}$。$\therefore \angle ACD=30^{\circ}$。在$Rt\triangle ACD$中，$AC=a$，$\therefore AD=\frac{1}{2}a$。由勾股定理得$CD=\sqrt{a^{2}-(\frac{1}{2}a)^{2}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，同理可得$FC=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{3a}{4}$，$HC=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3a}{4}=\frac{3\sqrt{3}a}{8}$。在$Rt\triangle HCI$中，$\angle I=30^{\circ}$，$\therefore HI=2HC=\frac{3\sqrt{3}a}{4}$。由勾股定理得$CI=\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}a}{4})^{2}-(\frac{3\sqrt{3}a}{8})^{2}}=\frac{9a}{8}$。