《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 小王是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”。他准备购置80只相同规格的网箱,养殖A,B两种淡水鱼(两种鱼不能混养)。计划用于养鱼的总投资不少于7万元,但不超过7.2万元,其中购置网箱等基础建设需要1.2万元。设他用x只网箱养殖A种淡水鱼,目前平均每只网箱养殖A,B两种淡水鱼所需投入及产量情况如下表：
| 项目类别 | 鱼苗投资(百元) | 饲料支出(百元) | 收获成品鱼(kg) | 成品鱼价格(百元/kg) |
| :--------- | :------------- | :------------- | :------------- | :------------------ |
| A种鱼 | 2.3 | 3 | 100 | 0.1 |
| B种鱼 | 4 | 5.5 | 55 | 0.4 |

(1)小王有哪几种养殖方案?
(2)哪种养殖方案获得的利润最大?
(3)根据市场调查分析,当他的鱼上市时,两种鱼的价格会有所变化,A种鱼价格上涨$a\%$($0 ＜ a ＜ 50$),B种鱼价格下降20%,考虑市场变化,哪种方案获得的利润最大?(利润= 收入 - 支出,收入指成品鱼收益,支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)
思路点拨
(1)养A种鱼的支出与B种鱼的支出之和只要大于等于5.8万元并小于等于6万元就可以(除去购置网箱等基础建设投入),列出不等式组即可求解。(2)分别列举出每种方式所获得的利润,再比较即可。(3)由于B种鱼的价格已经固定,我们只要求出当a取什么值时利润相等即可求解。
解题过程
(1)设小王用x只网箱养殖A种淡水鱼。
由题意得$\begin{cases}(2.3 + 3)x+(4 + 5.5)(80 - x)+120\geq700\\(2.3 + 3)x+(4 + 5.5)(80 - x)+120\leq720\end{cases} $,解得$\begin{cases}x\leq42\frac{6}{7}\\x\geq38\frac{2}{21}\end{cases} $。
又∵x为整数,∴$39\leq x\leq42$。∴$x = 39,40,41,42$。
∴小王有以下4种养殖方案:①养殖A种淡水鱼39箱,养殖B种淡水鱼41箱;②养殖A种淡水鱼40箱,养殖B种淡水鱼40箱;③养殖A种淡水鱼41箱,养殖B种淡水鱼39箱;④养殖A种淡水鱼42箱,养殖B种淡水鱼38箱。
(2)1箱A种鱼的利润$=100×0.1-(2.3 + 3)= 4.7$(百元),1箱B种鱼的利润$=55×0.4-(4 + 5.5)= 12.5$(百元)。
四种养殖方案所获得的利润分别为:①$4.7×39 + 12.5×41-120 = 575.8$(百元);②$4.7×40 + 12.5×40-120 = 568$(百元);③$4.7×41 + 12.5×39-120 = 560.2$(百元);④$4.7×42 + 12.5×38-120 = 552.4$(百元)。
∴养殖A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大。
(3)价格变动后,1箱A种鱼的利润$=100×0.1×(1 + a\%)-(2.3 + 3)= (4.7 + 0.1a)$(百元),1箱B种鱼的利润$=55×0.4×(1 - 20\%)-(4 + 5.5)= 8.1$(百元)。
设A,B两种鱼上市时利润相等,则有$4.7 + 0.1a = 8.1$,解得$a = 34$。
由此可见,当$a = 34$时,4种方案利润相等;当$34 ＜ a ＜ 50$时,第④种方案利润最大;当$0 ＜ a ＜ 34$时,第①种方案利润最大。
方法归纳
本题重点考查一元一次不等式及不等式组的应用,题(3)其实也是列一元一次不等式解决问题,题中数量关系比较复杂时要注意理清各变量之间的等量或不等量关系。
易错误区
解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量之间的等量关系,再用列举法一一列举后比较即可。

答案： 【解析】：
(1) 设小王用 $ x $ 只网箱养殖A种淡水鱼，则用 $ 80 - x $ 只网箱养殖B种淡水鱼。
根据题意，总投资不少于7万元，但不超过7.2万元，其中购置网箱等基础建设需要1.2万元。
因此，养A种鱼和B种鱼的支出之和需要在5.8万元到6万元之间。
列出不等式组：
$ (2.3 + 3)x + (4 + 5.5)(80 - x) + 120 \geq 700 $
$ (2.3 + 3)x + (4 + 5.5)(80 - x) + 120 \leq 720 $
解不等式组：
$ 5.3x + 9.5(80 - x) + 120 \geq 700 $
$ 5.3x + 760 - 9.5x + 120 \geq 700 $
$ -4.2x + 880 \geq 700 $
$ -4.2x \geq -180 $
$ x \leq 42\frac{6}{7} $
$ 5.3x + 9.5(80 - x) + 120 \leq 720 $
$ 5.3x + 760 - 9.5x + 120 \leq 720 $
$ -4.2x + 880 \leq 720 $
$ -4.2x \leq -160 $
$ x \geq 38\frac{2}{21} $
又因为 $ x $ 为整数，所以 $ 39 \leq x \leq 42 $。
所以 $ x = 39, 40, 41, 42 $。
因此，小王有以下4种养殖方案：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；
②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；
③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；
④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱。
(2) 计算每种养殖方案的利润：
1箱A种鱼的利润：
$ 100 × 0.1 - (2.3 + 3) = 4.7 (百元) $
1箱B种鱼的利润：
$ 55 × 0.4 - (4 + 5.5) = 12.5 (百元) $
四种养殖方案所获得的利润分别为：
① $ 4.7 × 39 + 12.5 × 41 - 120 = 575.8 (百元) $
② $ 4.7 × 40 + 12.5 × 40 - 120 = 568 (百元) $
③ $ 4.7 × 41 + 12.5 × 39 - 120 = 560.2 (百元) $
④ $ 4.7 × 42 + 12.5 × 38 - 120 = 552.4 (百元) $
所以，养殖A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大。
(3) 考虑市场价格变化：
A种鱼价格上涨 $ a\% $，B种鱼价格下降20%。
价格变动后，1箱A种鱼的利润：
$ 100 × 0.1 × (1 + \frac{a}{100}) - (2.3 + 3) = 4.7 + 0.1a (百元) $
1箱B种鱼的利润：
$ 55 × 0.4 × (1 - 20\%) - (4 + 5.5) = 8.1 (百元) $
设A、B两种鱼上市时利润相等，则有：
$ 4.7 + 0.1a = 8.1 $
解得：
$ a = 34 $
由此可见，当 $ a = 34 $ 时，4种方案利润相等；
当 $ 34 ＜ a ＜ 50 $ 时，第④种方案利润最大；
当 $ 0 ＜ a ＜ 34 $ 时，第①种方案利润最大。
【答案】：
(1) 小王有以下4种养殖方案：
①养殖A种淡水鱼39箱，养殖B种淡水鱼41箱；
②养殖A种淡水鱼40箱，养殖B种淡水鱼40箱；
③养殖A种淡水鱼41箱，养殖B种淡水鱼39箱；
④养殖A种淡水鱼42箱，养殖B种淡水鱼38箱。
(2) 养殖A种鱼39箱、B种鱼41箱利润最大。
(3) 当 $ a = 34 $ 时，4种方案利润相等；
当 $ 34 ＜ a ＜ 50 $ 时，第④种方案利润最大；
当 $ 0 ＜ a ＜ 34 $ 时，第①种方案利润最大。