《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

7. 如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD= ∠BCE= 90°,AE交CD于点F,BD分别交CE,AE于点G,H。试猜测线段AE和BD的数量关系及位置关系,并说明理由。

答案： 猜测AE=BD,AE⊥BD。理由如下:
∵∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE =∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB。
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=CD,CE=CB。
∴△ACE≌△DCB(SAS)。
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB。
∵∠AFC=∠DFH,∠FAC+∠AFC=90°,
∴∠DHF=∠ACD=90°。
∴AE⊥BD。

8. 在直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,D是AB上一点,且∠ACD= ∠B。
(1)如图1,求证：CD⊥AB。
(2)如图2,将△ADC沿CD所在的直线翻折,点A落在BD边所在的直线上,记为点A'。
①若∠B= 34°,求∠A'CB的度数。
②若∠B= n°,请直接写出∠A'CB的度数(用含n的代数式表示)。
B组

答案：
(1)
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°。
∵∠ACD=∠B,
∴∠B+∠BCD=90°。
∴∠BDC=90°。
∴CD⊥AB。
(2)①
∵∠B=34°,∠ACD=∠B,
∴∠ACD=34°。
由
(1)知,∠BCD+∠B=90°,
∴∠BCD=56°。
由折叠知,∠A'CD=∠ACD=34°,
∴∠A'CB=∠BCD - ∠A'CD=56° - 34°=22°。
②
∵∠B=n°,
∴同①的方法得:∠A'CD=n°,∠BCD=90° - n°。
当点A'落在DB的延长线上,即45＜n＜90时,∠A'CB=∠A'CD - ∠BCD=n° - (90° - n°)=2n° - 90°;
当点A'落在线段BD上，即0＜n≤45时，∠A'CB=∠BCD - ∠A'CD=90° - n° - n°=90° - 2n°。