《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

11. 如图,△ABC和△DEF有一部分重叠在一起(图中涂色部分),重叠部分的面积是△ABC面积的$\frac{2}{7}$,是△DEF面积的$\frac{1}{3}$,且△ABC与△DEF面积之和为26,则重叠部分的面积是______。

答案： 4

12. 如图,点G是△AFE的两外角平分线的交点,点P是△ABC的两外角平分线的交点,点F,C在AM上,点B,E在AN上,如果∠FGE= 66°,那么∠P= ______。

答案： 66°

13. 在△ABC中,已知∠A= 40°。
(1)如图1,若两内角∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,则∠P= ______,∠A与∠P之间的数量关系是______。为什么有这样的关系？请证明。
(2)如图2,若内角∠ABC、外角∠ACE的平分线交于点P,则∠P= ______,∠A与∠P之间的数量关系是______。为什么有这样的关系？请证明。
(3)如图3,若两外角∠EBC,∠FCB的平分线交于点P,则∠P= ______,∠A与∠P之间的数量关系是______。

答案： $(1)110° ∠P=90°+\frac{1}{2}∠A$证明:
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴$∠PBC+∠PCB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠ACB)=90°-\frac{1}{2}∠A。$
∴$∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(90°-\frac{1}{2}∠A)=90°+\frac{1}{2}∠A。$$(2)20° ∠P=\frac{1}{2}∠A$证明:
∵$\frac{1}{2}∠ACE=\frac{1}{2}∠ABC+∠P,$
∴$\frac{1}{2}(∠A+∠ABC)=\frac{1}{2}∠ABC+∠P。$
∴$∠P=\frac{1}{2}∠A。$$(3)70° ∠P=90°-\frac{1}{2}∠A$

14. 如图1,在△ABC中,AD是高线,AE是∠BAC的平分线。
(1)当∠ABC= 40°,∠ACB= 70°时,求∠EAD的度数。
(2)当∠ABC= α,∠ACB= β时,请用α,β表示∠EAD,并写出推导过程。
(3)如图2,当∠ABC= α,∠ACB= β,AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线时,∠EAD的度数是多少？(用α,β表示,直接写出结果)

答案：
(1)
∵∠ABC=40°,∠ACB=70°,
∴∠BAC=180°-40°-70°=70°。又
∵AE是∠BAC的平分线,
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°。$
∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-40°=50°。
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°。$(2)∠EAD=\frac{1}{2}(β-α)。$
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠BAC=180°-α-β。又
∵AE是∠BAC的平分线,
∴$∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β。$
∵∠BAD=90°-∠ABC=90°-α,
∴$∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-α-(90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β)=\frac{1}{2}(β-α)。$$(3)∠EAD=90°+\frac{α-β}{2}。$理由如下:
∵∠ABC=α,∠ACB=β,
∴∠FAC=α+β。
∵AE平分∠FAC,
∴$∠CAE=\frac{1}{2}∠FAC=\frac{α+β}{2}。$
∵AD⊥BC,
∴∠DAC=90°-β。
∴$∠EAD=∠DAC+∠CAE=90°-β+\frac{α+β}{2}=90°+\frac{α-β}{2}。$