《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例5 已知△ABC是等腰三角形,过△ABC的一个顶点的一条直线,把△ABC分成两个小三角形,如果这两个小三角形也是等腰三角形,试求出各内角的度数。
思路点拨
分两种情况讨论：(1)当直线通过等腰三角形的顶角顶点时。(2)当直线通过等腰三角形的底角顶点时。然后根据图形结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求解。
解题过程
一共有4种可能如下：
①如图1,△ABC是等腰三角形,AB= AC,线段AD是过顶点A的。根据题意,由于△ABD,△ACD是等腰三角形,且AD= BD,AD= CD,∴∠B= ∠BAD= ∠CAD= ∠C。∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C= 180°,∴∠B= ∠BAD= ∠CAD= ∠C= 45°,∠BAC= 90°。
②如图2,△ABC是等腰三角形,AB= AC,线段AD是过顶点A的。根据题意,由于△ABD,△ACD是等腰三角形,且AB= BD,AD= CD,∴∠B= ∠C,∠DAC= ∠C,∠BAD= ∠BDA。∴∠BDA= 2∠C。∵∠B+∠C+∠BAC= 180°,∴2∠B+3∠B= 180°。∴∠B= 36°,则有∠C= 36°,∠BAC= 108°。




③如图3,△ABC是等腰三角形,AB= AC,线段BD是过顶点B的。根据题意,由于△ABD,△BCD是等腰三角形,且AD= BD,BD= BC,∴∠ABC= ∠C,∠ABD= ∠A,∠BDC= ∠C。∴∠BDC= 2∠A。再利用三角形内角和定理可得5∠A= 180°,解得∠A= 36°,则∠ABC= ∠C= 72°。
④如图4,△ABC是等腰三角形,AB= AC,线段BD是过顶点B的。根据题意,由于△ABD,△BCD是等腰三角形,且AD= BD,BC= CD,∴∠ABC= ∠C,∠ABD= ∠A,∠DBC= ∠CDB。根据外角性质有∠BDC= 2∠A,再结合三角形内角和定理有7∠A= 180°,∴$∠A= (\frac{180}{7})°,从而易求∠ABC= ∠C= (\frac{540}{7})°。$
方法归纳
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理。分类讨论及方程思想是解决本题的主要思想方法。
易错误区
注意分类讨论时要考虑全面,不重不漏,任何一边都可能是腰,第四种情况比较容易遗漏。

答案： 解：分两种情况讨论：
（1）当直线通过等腰三角形的顶角顶点时：
① 如图1，△ABC中，AB=AC，直线AD过顶点A，交BC于D。若AD=BD，AD=CD，则∠B=∠BAD=∠CAD=∠C。
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=2∠B，
∴∠B+2∠B+∠B=180°，解得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°。
② 如图2，△ABC中，AB=AC，直线AD过顶点A，交BC于D。若AB=BD，AD=CD，则∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA。
∵∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C=2∠B，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BDA+∠C=2∠B+∠B=3∠B，
又∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠B+3∠B+∠B=180°，解得∠B=∠C=36°，∠BAC=108°。
（2）当直线通过等腰三角形的底角顶点时：
③ 如图3，△ABC中，AB=AC，直线BD过顶点B，交AC于D。若AD=BD，BD=BC，则∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，∠ABC=∠C。
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠A+∠DBC，又∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-2∠C，且∠C=∠BDC=2∠A，
∴∠ABC=∠A+180°-2∠C=∠A+180°-4∠A=180°-3∠A，
又∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+180°-3∠A+2∠A=180°，解得∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
④ 如图4，△ABC中，AB=AC，直线BD过顶点B，交AC于D。若AD=BD，BC=CD，则∠A=∠ABD，∠DBC=∠CDB，∠ABC=∠C。
∵∠CDB=∠A+∠ABD=2∠A，∠DBC=2∠A，∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠A+2∠A=3∠A，
又∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=∠ABC=3∠A，
∴∠A+3∠A+3∠A=180°，解得∠A=（180/7）°，∠ABC=∠C=（540/7）°。
综上，各内角的度数分别为：
① 45°，45°，90°；② 36°，36°，108°；③ 36°，72°，72°；④（180/7）°，（540/7）°，（540/7）°。