《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 如图。(1)图1是一个五角星,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。(2)将图1中的点A向下移到BE上(如图2),五个角的和有无变化？说明理由。(3)将图2中的点C向上移到BD上(如图3),五个角的和有无变化？说明理由。
思路点拨
要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E,需要将这些角转化为一个三角形的内角或外角,如图4,根据三角形的外角的性质可得∠A+∠C= ∠2,∠B+∠E= ∠1,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠1+∠2+∠D,其他两个图形用同样的方法即可解决。
解题过程
(1)如图4,∵∠A+∠C= ∠2,∠B+∠E= ∠1,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠1+∠2+∠D。而∠1+∠2+∠D= 180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180°。

(2)不变,仍为180°,如图5,同(1)可证∠CAD+∠C= ∠2,∠B+∠E= ∠1,∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠1+∠2+∠D= 180°。

(3)不变,理由同(2)。
方法归纳
应用转化的数学思想,将问题转化为三角形的外角和内角的性质问题。
易错误区
本题中三个图形虽然有变化,但其中角之间的数量关系没有变化,解题时要抓住图形中的三角形特征。图中角比较多,要注意理清数量关系,不要混淆。

答案：
(1)解：如图4，根据三角形外角性质，得∠A+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D。
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。
(2)解：不变，仍为180°。如图5，根据三角形外角性质，得∠CAD+∠C=∠2，∠B+∠E=∠1，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠D=180°。
(3)解：不变，理由同
(2)。