《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例3 在一次“探究性学习”课中,老师设计了如下数表：
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
| a | $2^2-1$ | $3^2-1$ | $4^2-1$ | $5^2-1$ | | ... |
| b | 4 | 6 | 8 | 10 | | ... |
| c | $2^2+1$ | $3^2+1$ | $4^2+1$ | $5^2+1$ | | ... |

(1)观察表格,根据规律在表中填空。
(2)用含自然数$n(n＞1)$的代数式表示a,b,c,则$a= $______,$b= $______,$c= $______。
(3)猜想：以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论。
思路点拨 (1)观察表格,即可得出$n= 6$时a,b,c的值。(2)利用图表可以发现a,b,c与n的关系,a与c正好是$n^2$加减1,即可得出答案。(3)利用完全平方公式计算出$a^2+b^2$的值,以及$c^2$的值,再利用勾股定理逆定理即可求出。
解题过程 (1)由图表可以得出：
$\because n= 2$时,$a= 2^2-1$,$b= 2 × 2$,$c= 2^2+1$；$n= 3$时,$a= 3^2-1$,$b= 2 × 3$,$c= 3^2+1$；$n= 4$时,$a= 4^2-1$,$b= 2 × 4$,$c= 4^2+1$；$n= 5$时,$a= 5^2-1$,$b= 2 × 5$,$c= 5^2+1$,
$\therefore n= 6$时,$a= 6^2-1$,$b= 12$,$c= 6^2+1$。填表略。
(2)$n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(3)以a,b,c为边的三角形是直角三角形。理由如下：
$\because a^2+b^2= (n^2-1)^2+(2n)^2= n^4-2n^2+1+4n^2= (n^2+1)^2= c^2$,
$\therefore$以a,b,c为边的三角形是直角三角形。
方法归纳 本题考查了勾股定理的逆定理,注意$n^2-1$,$2n$,$n^2+1$是最常见的勾股数。
易错误区 仔细观察表中的数据,找出规律,进而利用勾股定理的逆定理解决问题是本题的关键。

答案：
(1)当$n = 6$时，$a=6^{2}-1=35$，$b = 2×6 = 12$，$c=6^{2}+1=37$。
(2)$a=n^{2}-1$，$b = 2n$，$c=n^{2}+1$。
(3)以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形。证明如下：
$\begin{aligned}a^{2}+b^{2}&=(n^{2}-1)^{2}+(2n)^{2}\\&=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}\\&=n^{4}+2n^{2}+1\\&=(n^{2}+1)^{2}\\&=c^{2}\end{aligned}$
所以以$a$，$b$，$c$为边的三角形是直角三角形。