《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 如图,在平面直角坐标系中,函数$y= x的图象l$是第一、三象限的角平分线。

(1)实验与探究：由图观察易知$A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0)$,请在图中分别标明$B(5,3)$,$C(5,-2)关于直线l的对称点B'$,$C'$的位置,并写出它们的坐标：$B'$______,$C'$______。
(2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现：坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第一、三象限的角平分线$l的对称点P'$的坐标为______。
(3)类比与猜想：坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第二、四象限的角平分线的对称点$P'$的坐标为______。
(4)运用与拓广：已知两点$D(0,-3)$,$E(-1,-4)$,试在第一、三象限的角平分线$l上确定一点Q$,使点$Q到D,E$两点的距离之和最小,并求出点$Q$的坐标。
思路点拨
(1)根据$A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0)$进行解答。(2)根据关于直线$y= x$对称的点的坐标特点进行解答。(3)根据关于直线$y= -x$对称的点的坐标特点进行解答。(4)求出点$D关于直线y= x的对称点D'$,利用待定系数法求出直线$D'E$的表达式,求出直线$D'E与直线y= x的交点坐标即为点Q$的坐标。
解题过程
(1)$(3,5)$ $(-2,5)$
(2)点$P(m,n)$关于第一、三象限的角平分线$l的对称点P'的坐标为(n,m)$。
(3)猜想：坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第二、四象限的角平分线的对称点$P'的坐标为(-n,-m)$。
(4)点$D关于直线y= x的对称点D'(-3,0)$,
设过点$D'$,$E的直线表达式为y= kx+b$($k\neq0$)。
∵$D'(-3,0)$,$E(-1,-4)$,
∴$\begin{cases}-3k+b= 0\\-k+b= -4\end{cases} $,解得$\begin{cases}k= -2\\b= -6\end{cases} $。
∴直线$D'E的表达式为y= -2x-6$。
∵点$Q是直线D'E与直线y= x$的交点,
∴$\begin{cases}y= -2x-6\\y= x\end{cases} $,解得$\begin{cases}x= -2\\y= -2\end{cases} $。
∴$Q(-2,-2)$。

方法归纳
本题是一次函数简单综合题,涉及关于直线$y= x$,$y= -x$对称的点的坐标特点、利用轴对称变换求最短路程问题等知识。关于直线$y= x$,$y= -x$对称的点的坐标特征应用较为广泛,要理解并记住。
易错误区
点$D,E在直线y= x$的同侧,所以通过轴对称变换作其中一点的对称点,再连结对称点与另一点,根据两点之间线段最短确定最小距离,要理解题意正确作图才能保证解答无误。

答案： 【解析】：
(1) 题目要求找出点$B(5,3)$和点$C(5,-2)$关于直线$y=x$的对称点。
点$B(5,3)$关于直线$y=x$的对称点$B'$的坐标为$(3,5)$。
点$C(5,-2)$关于直线$y=x$的对称点$C'$的坐标为$(-2,5)$。
(2) 通过观察以上三组点的坐标，可以发现坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第一、三象限的角平分线$l$的对称点$P'$的坐标为$(n,m)$。
(3) 通过类比，可以猜想坐标平面内任一点$P(m,n)$关于第二、四象限的角平分线的对称点$P'$的坐标为$(-n,-m)$。
(4) 要使点$Q$到$D$、$E$两点的距离之和最小，可以求出点$D$关于直线$y=x$的对称点$D'(-3,0)$，然后利用待定系数法求出直线$D'E$的表达式，最后求出直线$D'E$与直线$y=x$的交点坐标即为点$Q$的坐标。
设过点$D'$、$E$的直线表达式为$y=kx+b$，
∵$D'(-3,0)$，$E(-1,-4)$
∴$-3k+b=0$，$-k+b=-4$，
解得$k=-2$，$b=-6$，
∴直线$D'E$的表达式为$y=-2x-6$，
∵点$Q$是直线$D'E$与直线$y=x$的交点，
∴$y=-2x-6$，$y=x$，
解得$x=-2$，$y=-2$，
∴$Q(-2,-2)$。
【答案】：
(1) $(3,5)$；$(-2,5)$
(2) $(n,m)$
(3) $(-n,-m)$
(4) $Q(-2,-2)$