《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例1 把下列命题写成“如果……那么……”的形式。
(1)两直线平行,同位角相等。 (2)周长相等的两个三角形全等。 (3)等角的补角相等。
思路点拨：先找出命题的条件和结论,再改写成“如果……那么……”的形式。其中“如果”后面跟命题的条件,“那么”后面跟命题的结论。
解题过程：
(1)如果两条平行线被第三条直线所截,那么所得的同位角相等。
(2)如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形全等。
(3)如果两个角分别是两个相等角的补角,那么这两个角相等。
方法归纳：将命题改写成“如果……那么……”的形式更容易分清命题中的条件和结论。
易错误区：题(3)的结论是两角相等,故条件应该是满足何种条件的两角,为了命题的证明方便一般不改写成“如果两个角相等,那么它们的补角相等”。

答案： 【解析】：
题目要求将给定的命题改写成“如果……那么……”的形式。这需要我们识别每个命题中的条件和结论，并将它们分别放在“如果”和“那么”的后面。
(1) 对于命题“两直线平行,同位角相等”，条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”。因此，改写后的命题是：“如果两条平行线被第三条直线所截,那么所得的同位角相等。”
(2) 对于命题“周长相等的两个三角形全等”，条件是“两个三角形的周长相等”，结论是“这两个三角形全等”。因此，改写后的命题是：“如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形全等。”
(3) 对于命题“等角的补角相等”，条件是“两个角分别是两个相等角的补角”，结论是“这两个角相等”。因此，改写后的命题是：“如果两个角分别是两个相等角的补角,那么这两个角相等。”
【答案】：
(1) 如果两条平行线被第三条直线所截,那么所得的同位角相等。
(2) 如果两个三角形的周长相等,那么这两个三角形全等。
(3) 如果两个角分别是两个相等角的补角,那么这两个角相等。

例2 判断下列命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请说明理由；如果是假命题,请举出一个反例。
(1)两个锐角的和是锐角。 (2)若$a ＞ b$,则$a^2 ＞ b^2$。 (3)若$n$是自然数,则代数式$(3n + 1)(3n + 2)+1$的值是3的倍数。
思路点拨：(1)利用特殊角可证明该命题为假命题。(2)利用特殊值可证明该命题为假命题。(3)将代数式展开后提取公因数3即可证明该命题为真命题。
解题过程：
(1)假命题。反例：$40^\circ与60^\circ的和为100^\circ$。
(2)假命题。反例：当$a = 1$,$b= -3$时,$a^2= 1 ＜ b^2 = 9$。
(3)真命题。理由如下：$\because (3n + 1)(3n + 2)+1= 9n^2 + 6n + 3n + 2 + 1= 9n^2 + 9n + 3= 3(3n^2 + 3n + 1)$,$n$为自然数,$\therefore代数式(3n + 1)(3n + 2)+1$的值是3的倍数。
方法归纳：本题考查了命题与定理。判断一件事情的语句叫作命题。许多命题都是由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,命题可以写成“如果……那么……”的形式。有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫作定理。要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可。
易错误区：判断命题真假一定要打破思维定式,全面考察命题的条件与结论,举反例时一定要注意反例要满足命题的条件,不满足命题条件的例子不能称为反例。

答案： 【解析】：
(1) 对于命题“两个锐角的和是锐角”，我们可以通过寻找反例来证明其为假命题。考虑两个锐角$40^\circ$和$60^\circ$，它们的和为$100^\circ$，已经超过$90^\circ$，因此不是锐角。所以该命题为假命题。
(2) 对于命题“若$a ＞ b$,则$a^2 ＞ b^2$”，我们可以通过寻找反例来证明其为假命题。考虑$a = 1$，$b = -3$，此时$a^2 = 1$，而$b^2 = 9$，显然$a^2 ＜ b^2$。所以该命题为假命题。
(3) 对于命题“若$n$是自然数,则代数式$(3n + 1)(3n + 2)+1$的值是3的倍数”，我们可以通过展开代数式并提取公因数3来证明其为真命题。
【答案】：
(1)假命题。反例：$40^\circ$与$60^\circ$的和为$100^\circ$，不是锐角。
(2)假命题。反例：当$a = 1$，$b= -3$时，$a^2= 1 ＜ b^2 = 9$。
(3)真命题。理由如下：
∵$(3n + 1)(3n + 2)+1$
$= 9n^2 + 6n + 3n + 2 + 1$
$= 9n^2 + 9n + 3$
$= 3(3n^2 + 3n + 1)$
$n$为自然数，
∴代数式$(3n + 1)(3n + 2)+1$的值是3的倍数。