《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 如图1,在△ABC与△BDE中,∠ABC= ∠BDE= 90°,BC= DE,AB= BD,M,M'分别为AB,BD中点。


(1)探索CM与EM'有怎样的数量关系,并证明你的结论。
(2)如图2,连结MM'并延长交CE于点K,试判断CK与KE之间的数量关系,并说明理由。
思路点拨 (1)根据线段中点的概念和已知的AB= BD,得BM= DM'。在△BCM和△DEM'中,由SAS可证得△BCM≌△DEM',则CM= EM'。(2)延长MK至点L,使KL= MM',连结LE,先证明△CMK≌△EM'L,然后由全等三角形的性质即可得出答案。

答案：
(1) CM=EM'。证明：
∵M，M'分别为AB，BD中点，
∴BM=1/2AB，DM'=1/2BD。
∵AB=BD，
∴BM=DM'。在△BCM和△DEM'中，BC=DE，∠ABC=∠BDE=90°，BM=DM'，
∴△BCM≌△DEM'(SAS)，
∴CM=EM'。
(2) CK=KE。理由：延长MK至点L，使KL=MM'，连结LE。
∵KL=MM'，
∴KM+KL=KM+MM'，即ML=KM'。由
(1)知CM=EM'。
∵∠CMK=∠EM'L（对顶角相等），在△CMK和△EM'L中，CM=EM'，∠CMK=∠EM'L，MK=LM'，
∴△CMK≌△EM'L(SAS)，
∴CK=LE，∠KCM=∠LEM'。
∵∠KCM+∠KCE=180°-∠ABC=90°，∠LEM'+∠LEK=180°-∠BDE=90°，
∴∠KCE=∠LEK，
∴CK=KE。