《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

3. 若只有两个正整数介于分数$\frac{88}{19}与\frac{88 + n}{19 + n}$之间,则正整数$n$的所有可能值之和是多少？

答案： $\because \frac{88 + n}{19 + n} ＜ \frac{88}{19},4 ＜ \frac{88}{19} ＜ 5$,又已知只有两个正整数介于分数$\frac{88}{19}$与$\frac{88 + n}{19 + n}$之间,$\therefore$介于分数$\frac{88}{19}$与$\frac{88 + n}{19 + n}$之间的两个正整数是3和4。$\therefore$分数$\frac{88 + n}{19 + n}$应满足$2 ＜ \frac{88 + n}{19 + n} ＜ 3$。解不等式组$2 ＜ \frac{88 + n}{19 + n} ＜ 3$,得$\frac{31}{2} ＜ n ＜ 50$。$\therefore$满足条件的正整数n为16,17,18,19,…,49,它们的和为$\frac{(49 + 16)×(49 - 16 + 1)}{2}=1105$。

4. 对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$＜x＞$,即：当$n$为非负整数时,如果$n - \frac{1}{2} \leq x ＜ n + \frac{1}{2}$,则$＜x＞ = n$。如：$＜0＞ = ＜0.48＞ = 0$,$＜0.64＞ = ＜1.493＞ = 1$,$＜2＞ = 2$,$＜3.5＞ = ＜4.12＞ = 4$,…。试解决下列问题：
(1)①$＜π＞ = $______。②若$＜2x - 1＞ = 3$,则实数$x$的取值范围为______。
(2)①当$x \geq 0$,$m$为非负整数时,求证：$＜x + m＞ = m + ＜x＞$。②举例说明$＜x + y＞ = ＜x＞ + ＜y＞$不恒成立。
(3)求满足$＜x＞ = \frac{4}{3}x的所有非负实数x$的值。

答案：
(1)①3 ②由题意得$\frac{5}{2}\leq2x - 1 ＜ \frac{7}{2}$,解得$\frac{7}{4}\leq x ＜ \frac{9}{4}$。
(2)①设$＜ x ＞=n$,则$n - \frac{1}{2}\leq x ＜ n + \frac{1}{2}$,n为非负整数,$\therefore (n + m)-\frac{1}{2}\leq x + m ＜ (n + m)+\frac{1}{2}$,且$n + m$为非负整数。$\therefore ＜ x + m ＞=n + m=m + ＜ x ＞$。②举反例:$＜ 0.6 ＞ + ＜ 0.7 ＞=1 + 1=2$,而$＜ 0.6 + 0.7 ＞=＜ 1.3 ＞=1$,$\therefore ＜ 0.6 ＞ + ＜ 0.7 ＞\neq＜ 0.6 + 0.7 ＞$。$\therefore ＜ x + y ＞=＜ x ＞ + ＜ y ＞$不一定成立。
(3)$\because x\geq0$,$\frac{4}{3}x$为整数,设$\frac{4}{3}x=k$,k为整数,则$x=\frac{3}{4}k$,$\therefore ＜ \frac{3}{4}k ＞=k$。$\therefore k - \frac{1}{2}\leq\frac{3}{4}k ＜ k + \frac{1}{2}$,$k\geq0$。解不等式组得$0\leq k\leq2$,$\therefore k=0,1,2$。$\therefore x=0,\frac{3}{4},\frac{3}{2}$。