《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例3 如图1,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作DE//BC,交AB于点D,交AC于点E。


(1)试找出图中的等腰三角形,并说明理由。
(2)若AB= 12,AC= 9,求△ADE的周长。
(3)若将原题中平行线DE的方向改变,如图2,OD//AB,OE//AC,BC= 16,你能得出什么结论呢？
思路点拨
(1)运用平行线的性质与角平分线的意义找出等腰三角形。(2)由△ADE的周长= AD+DO+OE+AE= AB+AC求解。(3)由OD//AB,OE//AC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,得出△BDO和△ECO是等腰三角形,利用等腰三角形两腰相等得出△ODE的周长等于BC的长度。
解题过程
(1)△DBO和△EOC是等腰三角形。理由如下：
∵BO平分∠ABC,∴∠DBO= ∠CBO。∵DE//BC,∴∠CBO= ∠DOB。∴∠DBO= ∠DOB。∴DB= DO。∴△DBO是等腰三角形。
同理△EOC是等腰三角形。
(2)∵DO= DB,OE= EC,∴△ADE的周长= AD+DO+OE+AE= AB+AC。∵AB= 12,AC= 9,∴△ADE的周长= AB+AC= 12+9= 21。
(3)∵BO平分∠ABC,∴∠ABO= ∠DBO。∵OD//AB,∴∠DOB= ∠ABO。∴∠DBO= ∠DOB。∴△BDO是等腰三角形。同理△ECO是等腰三角形。∴BD= DO,CE= OE。
∵BC= 16,∴△ODE的周长= OD+DE+OE= BD+DE+EC= 16,即△ODE的周长等于BC的长度。
方法归纳
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质及平行线的性质,解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两角相等或两边相等。注意“角平分线+平行线”可以得到等腰三角形这一基本模型。
易错误区
求△ADE的周长时要注意各线段之间的等量关系与和差关系不要弄错。

答案：
(1)△DBO和△EOC是等腰三角形。理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠DBO=∠CBO。
∵DE//BC，
∴∠CBO=∠DOB。
∴∠DBO=∠DOB。
∴DB=DO。
∴△DBO是等腰三角形。
同理，CO平分∠ACB，
∴∠ECO=∠BCO。
∵DE//BC，
∴∠BCO=∠EOC。
∴∠ECO=∠EOC。
∴EC=EO。
∴△EOC是等腰三角形。
(2)
∵DO=DB，OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC。
∵AB=12，AC=9，
∴△ADE的周长=12+9=21。
(3)△ODE的周长等于BC的长度。理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠DBO。
∵OD//AB，
∴∠DOB=∠ABO。
∴∠DBO=∠DOB。
∴BD=DO。同理，CO平分∠ACB，
∴∠ACO=∠ECO。
∵OE//AC，
∴∠EOC=∠ACO。
∴∠ECO=∠EOC。
∴CE=OE。
∵BC=16，
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16。