《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 在$\triangle ABC$中,$BO平分\angle ABC$,点$P为直线AC$上一动点,$PO\perp BO于点O$。



(1)如图1,当$\angle ABC= 40^\circ$,$\angle BAC= 60^\circ$,点$P与点C$重合时,$\angle APO= $______。
(2)如图2,当点$P在AC$的延长线上时,求证：$\angle APO= \frac{1}{2}(\angle ACB - \angle BAC)$。
(3)如图3,当点$P在边AC$上如图所示位置时,请直接写出$\angle APO与\angle ACB$,$\angle BAC$之间的等量关系式：______。
思路点拨：(1)根据三角形的内角和定理求出$\angle ACB$,再根据角平分线的定义求出$\angle OBC$,然后求出$\angle OCB$,再根据$\angle APO= \angle ACB - \angle OCB$计算即可得解。(2)作射线$AO$,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得$\angle 4= \angle 1 + \angle 2$,$\angle 3= \angle 5 + \angle P$,从而得到$\angle 3 + \angle 4= \angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle P$,再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用$\angle ACB和\angle BAC表示出\angle 2$,代入整理即可得解。(3)用$\angle ACB和\angle BAC表示出\angle ABO$,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解。
解题过程：
(1)$\because \angle ABC= 40^\circ$,$\angle BAC= 60^\circ$,$\therefore \angle ACB= 180^\circ-\angle ABC - \angle BAC= 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ=80^\circ$。$\because BO平分\angle ABC$,$\therefore \angle OBC= \frac{1}{2}\angle ABC= 20^\circ$。$\because PO\perp BO$,$\therefore \angle OCB= 90^\circ-\angle OBC= 90^\circ - 20^\circ=70^\circ$。$\therefore \angle APO= \angle ACB - \angle OCB= 80^\circ - 70^\circ=10^\circ$。
(2)如图4,作射线$AO$,则$\angle 4= \angle 1 + \angle 2$,$\angle 3= \angle 5 + \angle P$,$\therefore \angle 3 + \angle 4= \angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle P$。$\because PO\perp BO$,$\therefore \angle 3 + \angle 4= 90^\circ$。$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle P= 90^\circ$,即$\angle BAC + \angle 2 + \angle P= 90^\circ$。$\because BO平分\angle ABC$,$\therefore \angle 2= \frac{1}{2}\angle ABC$。$\because \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB= 180^\circ$,$\therefore \angle ABC= 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB$。$\therefore \angle 2= \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB)$。$\therefore \angle APO= 90^\circ - \angle BAC - \angle 2= 90^\circ - \angle BAC - \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB)= \frac{1}{2}(\angle ACB - \angle BAC)$。

(3)$\because BO平分\angle ABC$,$\therefore \angle ABO= \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB)$。$\because PO\perp BO$,$\therefore \angle APO= 90^\circ + (\angle ABO + \angle BAC)= 90^\circ + \frac{1}{2}(180^\circ - \angle BAC - \angle ACB) + \angle BAC= 180^\circ + \frac{1}{2}(\angle BAC - \angle ACB)$,即$\angle APO= 180^\circ + \frac{1}{2}(\angle BAC - \angle ACB)$。
方法归纳：本题考查了三角形的内角和定理,三角形的外角性质,难度中等,熟记性质并准确识图是解题的关键。
易错误区：本题中涉及的角较多,要准确表示出各角度之间的等量关系,运用三角形外角的性质时要注意对应的角度关系不要混淆。

答案： 【解析】：
本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质。
（1）根据三角形内角和定理求出$\angle ACB$，再由角平分线的定义得到$\angle OBC$，进而求出$\angle OCB$，最后根据$\angle APO = \angle ACB - \angle OCB$计算。
（2）通过作射线$AO$，利用三角形外角的性质得到$\angle 4 = \angle 1 + \angle 2$，$\angle 3 = \angle 5 + \angle P$，再结合$PO\perp BO$以及三角形内角和定理和角平分线定义进行推导。
（3）用$\angle ACB$和$\angle BAC$表示出$\angle ABO$，然后根据三角形外角的性质列出等式。
【答案】：
(1)$10^{\circ}$
(2)证明：如图4，作射线$AO$，
$\because \angle 4$是$\triangle ABO$的外角，
$\therefore \angle 4 = \angle 1 + \angle 2$，
$\because \angle 3$是$\triangle PCO$的外角，
$\therefore \angle 3 = \angle 5 + \angle P$，
$\therefore \angle 3 + \angle 4 = \angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle P$，
$\because PO\perp BO$，
$\therefore \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle 1 + \angle 2 + \angle 5 + \angle P = 90^{\circ}$，
即$\angle BAC + \angle 2 + \angle P = 90^{\circ}$，
$\because BO$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle 2 = \frac{1}{2}\angle ABC$，
$\because \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB$，
$\therefore \angle 2 = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB)$，
$\therefore \angle APO = 90^{\circ} - \angle BAC - \angle 2$
$= 90^{\circ} - \angle BAC - \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB)$
$= \frac{1}{2}(\angle ACB - \angle BAC)$。
(3)$\angle APO = 180^{\circ} + \frac{1}{2}(\angle BAC - \angle ACB)$